X.AJ 4-X,A

Ix.b; 4 x.bj 4-.

..+ \9C\ =if

j A( B! -4- AjBy-f- .

• • “t” ^t; Ag B0 11— O,

I ^.j B( Ci Ht BjCj-4-

• "4- )•<; B,iC,- = O,

. . -4- )-c AtfCt == 0.

Si l’on ajoute membre, à membre les équations i°,a°,..., 6", aprèsles avoir multipliées respectivement parles nombres?.,.

THÉORÈME DE M. 1. MENTION. 1 o5

/ , A6 ainsi déterminés ; les neuf termes, tels que zPajî,

n*{3y, «’æy, disparaissent d’eux-mêmes du second membre de l’équation résultante, en vertu des trois dernières conditions imposées aux multiplicateurs À. F.n même temps, et en vertu des trois premières, les termes en d'à}, a* |3S, 0*7’, dont les coefficients deviennent égaux à l’unité, s’v réduisent àa’(«!- 1- (3’ -f-y1) = «’ ; les termes en b'1 a.'1, Idfi'*, b* "/'* s’y réduisent n b* ; les termes en c'a.'1*, c,|S,,,, c*yff! à c*; et l’ensemble de ces termes à a’-t- &*-+- c*, ou A1, en vertu de la relation "°. Les douze variables se trouvent donc éliminées, et le lieu des centres est défini par l’équation

( A 1 x -4- B, j1* -4- Cj z — ct 1 )3 -f- * . « -4- -t- B^v -4- Cu z — ct$ i ■

— a1- 4- è’-(- c1— const. ,

ou

À, P f = a7 -t- b1 •+• c* — const.

D’ailleurs, les rectangles des coordonnées courantes x,j , z disparaissent d'eux- mêmes de cette équation en vertu des conditions (A)-, les coefficients de x*, y*, z'- y sont égaux à l’unité, et le lieu des centres est un c sphère dont le centre est indépendant de la valeur assignée à la constante a*-4-è* -t-c* (J, Mention, Nouvelles A nna/esde AJ ’athém. , 1 807, t. XVI, p. 228). On peut donc énoncer ce théorème : Le lieu des centres des surfaces du second ordre tangentes aux six plans P,P,. . .P6 = 0, et dont les carrés des axes principaux conservent, une somme constante, est la sphère représentée par l'équation

(I) ^ P} = n!-4- è1-*- c’1— const.

ïmdl

ramenée à la forme

x7 -4- y2 -4- z1 -4- 2 mx -4- 2 ny -4- ipz -4- q — -4- //' -4- c'

par un choix convenable des cocjficicnts.