Remarque V. — Revenons à la sphère principale

Pj =: As 4- é5-(- c’= const.,

et cherchons à en déterminer le centre.

Toutes les sphères répondant aux diverses valeurs de la constante étant concentriques, on peut supposer cette constante nulle. La sphère correspondante est alors le lieu spécial des centres des hyperboloïdcs équi/atères

X1 yl jJ

— ± — i , n’rfc — <^=0

à une ou à deux nappes, tangents aux six plans donnés; et

toute la question est de déterminer le centre particulier de cette sphère représentée par l’équation homogène

Or le plan polaire, pris relativement à la sphère (II), d'un point quelconque (/», , /»*, • • . , /»« ) , a pour équation

et si, au lieu de laisser ce point indéterminé, on le place en 1 un quelconque des sommets de l’hexaèdre formé par les six plans donnés, en posant, par exemple,

o=p, — p, = p3-, le plan polaire correspondant

X, pt ■ P, 4- Xi p3 . P, 4- \p. . P, = o

passe par le sommet opposé o = P* = P5 = P6.

Deux sommets opposés quelconques de l’hexaèdre formé par les six plans sont donc conjugués par rapport à la sphère (II).

Mais la droite qui réunit deux points conjugués relativement à une sphère, étant prise pour diamètre d'une seconde sphère, on sait que ces deux sphères sont orthogonales. La sphère (II) est donc orthogonale à toutes celles que l’on peut décrire sur chacune des diagonales de l’hexaèdre P, ...P6 comme diamètre; son centre est un point de commune puissance par rapport à toutes ces sphères, et le carré de son rayon est mesuré par cette commune puissance. La détermination que l’on avait en vue se trouve donc réalisée, et l’on a cette suite de théorèmes :

I. Les dix sphères décrites sur chacune, des diagonales d’un hexaèdre complet, comme diamètre , ont un même centre radical et une même sphère orthogonale : la sphère