Si l’on appelle sphère diagonale de l’ellipsoïde

la sphère concentrique

H Y PERBOLOÏDES ÉQUILATEKES INSCRITS A LHEXAÈDUE. II I

ayant pour rayon la diagonale du parallélipipèdc construit sur ses demi-axes principaux , le théorème précédent sera susceptible de cet autre énoncé :

Les sphères diagonales de toutes les surfaces du second ordre inscrites à un hexaèdre sont orthogonales à une même sphère, la sphère conjuguée de l'hexaèdre.

118. Remarque VII. — On peut obtenir par la géométrie la définition, que vient de nous fournir le calcul, de la sphère lieu des centres des hyperboloïdes équilatères, à une ou à deux nappes, inscrits à un hexaèdre donné.

Les plans des diverses faces de cet hexaèdre étant désignés par les n°* 1, 2,. . ., 6, construisons, en effet, le quadrilatère gauche abcd intercepté par les plans 5 et G sur les droites 12 et 34, intersections des plans 1 et 2, 3 et 4 (Jig. 22) ; et considérons d’une manière spéciale les hyperboloïdes à une nappe menés en nombre infini par les côtés de ce quadrilatère. Tous ces hyperboloïdes se trouveront inscrits à l’hexaèdre proposé; leurs centres seront distribués sur la médiane inn du quadrilatère précédent, et leur équation générale pourra s’écrire

(i) AC + ÀBD = o,

ou

,,.(À + cC)’ (A-rCY , '(B -M/D)’ ,(B-rfD)»..

les équations

désignant les plans des angles successifs du quadrilatère abcd.

11 résulte de la forme de l’équation (1') que tous ces hyperboloïdes sont conjugués au tétraèdre déterminé par les plans

A ±cC = o, B rt dD = o.

La puissance, par rapport à la sphère 2 circonscrite à ce

tétraèdre, du centre de l’un quelconque de ces liyperboioïdes, mesure donc la somme des carrés de ses demi-axes principaux ( voir Cbap. VI) : cette somme devenant nulle, et cet hyperboloïde devenant éqnilatère lorsque le centre correspondant, situé d’ailleurs sur la médiane nin, est en l’une des traces o ou o' de celle-ci sur la sphère Z.

Fig. 23.

Or, il est aisé de voir que le tétraèdre o = A±cC = B±rfD,

susceptible d'une infinitéde déterminations, a pour sommets deux couples quelconques de points a' et c\ b' et d' , situés respectivement sur l’une ou 1 autre des diagonales tic, bd du quadrilatère gauche primitif, et les divisant harmoniquement.

Si o, o' désignent dès lors les traces de la médiane nui sur la sphère circonscrite au tétraèdre a'b'c'd\ l’on aura :

Par la division harmonique («,e; a' \c') et les cordes oo1, a'c' issues du point milieu m du segment tic.