DES POINTS CYCLIQUES DU QUADRILATERE. I

oo', b’d' issues du point-milieu n du segment bd,

— a — a bd

nn.no 1 = nb' ,nd' — nb = nd = — j— = R'2.

Or il résulte de ces égalités que toute sphère menée par les points o, o', centres des deux liyperboloïdes équilatères déjà définis, est orthogonale à chacune de celles que l'on peut décrire sur les diagonales ac ou bd comme diamètres. Mais les diagonales du quadrilatère gauclie abcd fout deux des dix diagonales de l’hexaèdre primitif 12... 6; et la sphère, lieu des centres des hyperboloïdes équilatères inscrits à cet hexaèdre, passe, en particulier, parles points o, o' : La sphère, lieu des centres, est donc orthogonale à chacune des sphères diagonales de l hexaèdre.

11 est aisé de voir que l’on peut obtenir de la sorte autant de couples de points o, o' appartenant à la sphère dos centres, qu’il est marqué parle triple du nombre des combinaisons de six lettres deux à deux :

§ IV. — De deux séries de cercles déduites du quadrilatère et formant un double système orthogonal.

119. î). Si l’on considère l’un quelconque des cercles contenus, en nombre infini, dans l’équation

on trouve que la polaire, par rapport à ce tcrcle, de l'un quelconque des sommets du quadrilatère P, . . . I’t = o, passe par le sommet opposé. Deux quelconques des sommets opposés du quadrilatère sont dès lors conjugués par rapport à chacun des cercles de la série (1), cl scs trois diagonales se trouvent divisées harmoniquement par cita-'

cun de ces cercles que l’on peut dire conjugués au quadrilatère.

D’ailleurs, réciproquement, tout cercle conjugué au quadrilatère, ou qui en divise les diagonales harmoniquement, fait partie des cercles de la série (I), parmi lesquels on doit remarquer :

f.es cercles conjugués tics quaire triangles résultant des côtés du quadrilatère,

Le cercle circonscrit au triangle formé de ses trois diagonales, et qui divise harmoniquement chacune d’elles : comme cela résulte de la division harmonique déterminée sur chacuuc de ces droites par les deux autres;

Les deux points cycliques du quadrilatère ; ou les deux cercles de rayon nul contenus dans l’équation générale (I), et donnant lieu à l’identité spéciale

Soient actuellement

deux quelconques des cercles de la série (I). L’équation o X* P; =Ax + B/ + C:+ D,

résultant des deux précédentes retranchées l’une de l’autre, représente à la fois l’axe radical des deux cercles considérés et la médiane du quadrilatère.

Tous les cercles de la série (I), ou les cercles conjugués

THÉORÈME DE PLTJCKER.

à un quadrilatère, admettent donc un même axe radical (la médiane ); leurs centres sont distribués sur la droite des hauteurs ( voir le Chapi Ire VII), et les points limites (*) des cercles de cette série coïncident avec les deux points cycliques du quadrilatère .

2) . Si ces derniers points sont réels, la série orthogonale h la précédente est immédiatement déterminée et se compose de tous les cercles menés par les deux points cycliques. Dans le cas contraire, les cercles décrits sur les trois diagonales comme diamètres représentent encore trois cercles de la série orthogonale et la déterminent. C’est ce que l’on voit en remarquant que deux quelconques des sommets opposés du quadrilatère sont conjugués patrapport à chacun des cercles de la série (I), et se rappelant ce théorème : Le segment qui réunit deux points conjugués par rapport à un premier cercle étant pris pour diamètre d’un second cercle, ces deux cercles sont orthogonaux.

3) . Mais cette nouvelle série est susceptible d’une autre définition, et l’on peut dire que la série des cercles conjugués à un quadrilatère et la série des cercles diagonaux de toutes les coniques inscrites forment un double système orthogonal.

En effet, l’on a vu déjà que le cercle diagonal de toute conique inscrite à un triangle coupe orlliogonalement le cercle conjugué de ce triangle (voir p. 79, n° 92). Les cercles conjugués des quatre triangles résultant des côtés du quadrilatère actuel, et avec eux tous les cercles de la série (I) à laquelle ils appartiennent, seront dès lors coupés orthogonalement par le cercle diagonal de chacune des coniques inscrites. Les cercles diagonaux de ces coniques forment donc une nouvelle série orthogonale à la précédente (1) et passant par les points limites des cercles

(*) Propriétés projectives , p. l\i.

de celte série ou par les points cycliques du quadrilatère. De là ce théorème :

Les cercles diagonaux (le toutes les coniques inscrites à un quadrilatère passent par les deux mêmes points : les points cycliques du quadrilatère. Et chacune de ces coniques est vue, de l' un quelconque de ces points, sous un angle droit (Plecker , Geom. Analyt. Entwick., t. II, p. 198).

C'est aussi ce que l’on peut déduire à priori de la déliuilion

Y X, PJ = (x - «)’ + {y - p)’ = X1 + Y’

Àm*i\

de chacun des deux points cycliques, ou de l’identité

qui en résulte. Cette dernière, en effet, exprime que les quatre côtés d’un quadrilatère P, . . . Pt = 0 et deux droites rectangulaires quelconques XY = o, menées par l’un de ses points cycliques, font six tangentes d’une même conique ( voir p. y4, n° 87). Et comme la première de ces dernières droites X.\ — o peut être menée tangentiellcment à l’une quelconque des coniques inscrites, l’une quelconque de ces courbes est vue sous un angle droit de chacun des points cycliques.