DES POINTS CYCLIQUES DU PENTAGONE. IIJ

sont distribués sur un même cercle, le cercle diagonal de cette conique.

Car si l’on retranche, membre à membre, les équations

0 =X x' pî = (x - + (r - PT - p'S

de deux quelconques de ces cercles, l’équation résultante o=yx: PJ = Ax + Bjr4-C

représente à la fois l’axe radical de ccs cercles et l’un des diamètres de la conique inscrite au pentagone {voirp. q'i, n°86). Le centre de celte conique est donc un point de commune puissance pour tous les cercles (II) qui admettent dès lors un même centre radical et un môme cercle orthogonal décrit autour de ce point comme centre. D’ailleurs, les cercles conjugués des divers triangles ou quadrilatères qui résultent des côtés du pentagone, faisant partie de la série (II); le cercle diagonal de la conique inscrite coupe orthogonalement, avec chacun de ces cercles conjugués, tous ceux de la série à laquelle ils appartiennent, et passe en outre par chacun des points limites de la série ou par tous les points cycliques du pentagone considéré.

121. Étant donné un tiiangle conjugué P, Ps P3 = o et l'un des jojers («, j3), ou l'une des directrices P4 = o, d'une conique , proposons-nous, comme application de la notion des points cycliques d’un système de droites, de construire In directrice ou le foyer correspondant.

L’équation de la courbe considérée pouvant s’écrire sous ces deux formes équivalentes

(x — «)• + (/ — p)’ = x,P! ou V3x,p;=o,

Jmadl

on a l'identité

Le foyer (a,|3) est donc l’un des deux points eyeliqucs du quadrilatère formé des côtés du triangle donné et de la directrice correspondante. Il sera donc bien facile de construire la directrice à l’aide du foyer, ou, inversement, le foyer à l'aide de la directrice.

122. Une série de coniques conjuguées au quadrilatère P, ... P, = o ayant une directrice commune P3 = o, quel est le lieu du foyer correspondant?

L’équation de l’une quelconque de ces courbes pourra s’écrire encore

(.r — «)’-+- (y— )> = )., P J ou Vx,P;=o,

et l’on aura encore l’identité

^\pï=s(*-«)»+(jr-p)».

Le foyer (a, (3) est donc l’un des points cycliques du pentagone Pj . . . P» P, , et le lieu de tous ces foyers coïncide avec le cercle diagonal de la conique inscrite à ce pentagone.

Inversement, étant donnés le quadrilatère Pi • • -Pi = o et l'un des foyers f d'une conique conjuguée , ce foyer f et lesdeux points cycliques du quadrilatère sont trois points du cercle diagonal d’une conique tangente aux quatre droites P,, . . ., Pv et à la directrice P5 = o qui correspond au loyer donné. Le centre de ce cercle diagonal est donc déterminé, et la directrice P5 roule sur une conique concentrique, inscrite au quadrilatère proposé.

DES POINTS SPHÉRIQUES DE L'HEPTAÈDRE. Iig

§ V. - — De deux séries de sphères orthogonales déduites d'un groupe de sept plans.

123. 1) Considérons toutes les sphères contenues en nombre infini dans l’équation

Les équations de deux quelconques d’entre elles étant

(0 pî =(■*■— «)’ -Mr— P)’ •+■ (z — v)’ — P'J.

l’équation

(i,a) o='V'l'P; = Ax + B/ + C:-l-D)

qui résulte de la soustraction des deux précédentes, représente à la fois le plan du centre radical des deux sphères considérées, et le plan général des centres de toutes les surfaces du second ordre inscrites aux sept plans P, P, . . . P, = o. Toutes les sphères de la série (I) possèdent donc un même cercle et un même plan radical : le plan général des centres ou le plan conjugué des sept plans du système.

Mais le cercle radical des sphères de cette série peut aussi se construire. El comme les sphères conjuguées

0 =^ï. P! =(* - a')2 Hb (r — P' ) + (z - y y - p'2

des sept hexaèdres déterminés par les plans P, . . . P7 = o, font partie de la série (I) ; le cercle conjugué des sept plans, qui fait leur commune intersection, représente le cercle radical commun à toutes les sphères de la série.

2). Il est facile maintenant de définir les deux points sphériques des sept plans donnés on les deux sphères, de rayon nul,

qui marquent les points limites delà série considérée.

Car le cercle radical commun à toutes les sphères (I) étant représenté par les équations

z = o, x1 +/1 — r2 = o, leur équation générale

pourra s’écrire

d’où, pour les points /imites de la série,

Ces points limites, ou les deux points sphériques des sept plans donnés, se trouvent donc sur l’axe du cercle (x* -h J1 = f*) conjugué des sept plans, de part et d’autre de son centre, et à une distance de celui-ci mesurée par /■y/ — 1. Ces points sont donc réels et distincts, se confondent en un seul ou deviennent imaginaires, suivant que le cercle conjugué des sept plans est imaginaire, se réduit à un point ou acquiert un rayon fini.

3). On a vu précédemment que la sphère diagonale (x* -hy* -f- -z* = a1 ■+■ b* -+■ c’) de l’une quelconque des

f- - — | — = 1 ) inscrites à un

hexaèdre, est orthogonale à la sphère conjuguée de cet hexaèdre (voir p. no, n° 117). La sphère diagonale de l’une quelconque des surfaces du second ordre inscrites aux sept plans P, ... P, = o du système actuel, est donc orthogonale aux sphères conjuguées des sept hexaèdres

PROPRIÉTÉ DE CES POIJiTS .

qu’ils déterminent, comme à toutes celles que l’on peut mener par leur cercle radical, ou à toutes les sphères de la série (I). Or, il résulte immédiatement de là que les sphères diagonales de toutes les surfaces inscrites passent par les deux mêmes points qui sont les points sphériques des sept points considérés ou les points limites des sphères de la série. Et c’est aussi ce que l’on peut déduire du calcul suivant.

Les sphères (1) étant représentées avec leur cercle radical en évidence

z = o, jr’-f-j1 — r’=o,

par l’équation

chacune d’elles, ou au moins chacune des sept sphères conjuguées qui y sont comprises, sera coupée orlhogonalenient par toutes les suivantes :

(II') -r’-f- r’-f- z1 — 2a' -r — 2 8'jK — 2 y' Z -f- w' = O,

si la condition connue

a- i- et' — 2aa' — 2 pp' — 277'= O,

ou, ici,

( c ) — r’-f- ci' — 277'= o

est vérifiée, quelle que soit la valeur attribuée au paramètre y; ou au moins pour sept valeurs distinctes de ce paramètre. Dans l’un et l’autre cas on doit avoir simultanément

(C) 7' = o et ct' = /•’= eonst.

Or il résulte de ces conditions que tontes les sphères de la série orthogonale (IF) passent par les deux mêmes points, représentés par les équations

(2') r = o, y = o, z—± ^ — cr' = ±r^— ij

et coïncidant, comme l'on voit, avec les points sphériques des sept plans donnés.

De là cette première analogie au théorème déjà mentionné de Pluckcr :

Les sphères diagonales de toutes les surfaces du second ordre inscrites à un système de sept plans passent par les deux mêmes points situés sur l' axe du cercle conjugué (x* r*) des sept plans du système, de part et d'autre du centre de ce cercle , et à une distance mesurée par r ^ — i .

124. C’est aussi cc que l’on peut déduire, à priori, de la définition

o=y’x,p;s=(x— a)»4-(r — (*)»-+- (z — vi’sX'+i'+Z’

des points sphériques d’un système de sept plans, ou de l’identité

(jui en résulte. Celle-ci exprime, en effet, que les sept plans donnés P, ...P7=o et trois plans rectangulaires quelconques X.Y.Z=o, menés par l’un oul’aulredes deux points sphériques qu’ils déterminent, fontdixplans tangents d’une même surface du second ordre. Cette surface, d’ailleurs, est l’une quelconque de celles que l’on peut inscrire aux sept plans du système, et à laquelle on pourra toujours mener, par celui des deux points sphériques que l'on aura choisi, deux nouveaux plans tangents X. Y = o perpendiculaires entre eux. Chacun des deux points sphériques d’un système de sept plans est donc le sommet d’une infinité de trièdres tri-rectangles X.Y.Z = o, circonscrits à l’une quelconque des surfaces du second ordre inscrites aux sept plans du système ; et ces deux points, d’après le théorème de Monge, appartiennent aux sphères diagonales de toutes ces surfaces.

DF.S POINTS SPHÉRIQUES DE l’oCTÀÈDIIE .

§ VI. — De deux autres séries de. sphères déduites d'un groupe de huit plans, et formant un double système orthogonal.

125. i). Considérons encore un système de huit plans P,. . .P, = o,

et les sphères, en nombre doublement infini, contenues dans l’équation

Deux quelconques d’entre elles étant représentées par les équations

0=XX‘ = -t-tr-p)’