XV- P?S3(* - + & - P')J+ V* -7')’- A
l’équation résultant de la soustraction des deux précédentes,
, o=Vx"1P; = A*-f-By-t-Cï-t-D,
représente simultanément le plan radical des deux sphères considérées, et l’un des plans menés par la droite générale des centres de toutes les surfaces du second ordre inscrites aux huit plans P, . . .P8 = o ( voir p. 88, n° 102). Tous les points de celte droite sont dès lors des points de commune puissance par rapport à toutes les sphères considérées. Les sphères de la série (II) ont donc un même axe radical (la droite des centres de toutes les surfaces inscrites aux huit plans donnés, ou l 'axe conjugué de ces plans, que l’on sait construire) 5 et une même corde radicale dirigée suivant cet axe, et dont les extrémités que l’on peut construire font les deux points communs à toutes les
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sphères de la série. Les sphères conjuguées.
des vingt-huit hexaèdres qui résultent des huit plans donnés appartiennent, en effet, à la série (11), et trois quelconques d’entre elles suffisent à la construction simultanée de la corde radicale et de l'axe radical commun à toutes les sphères de la série.
2) . Les deux extrémités de la corde radicale commune à toutes les sphères précédentes étant représentées par les équations
(<i) x = o, y=o, z — de r,
leur équation générale
(II) jr5-4-y,-f- z7 — 2ax — J.f îy — r7 — o
pourra s’écrire
Le lieu géométrique de tous les points limites de la série est donc un cercle z = o, a* -4- j3>* = — r* ou
ayant pour axe la corde radicale des sphères de la série ou l’axe conjugué des huit plans. Le centre de ce cercle est au milieu de celte corde, et son rayon est mesuré par sa demilongueur multipliée par y/ — 1.
3) . Les sphères diagonales de toutes les surfaces du second ordre inscrites aux huit plans du système actuel, devant couper orthogonalement les sphères conjuguées des vingt-huit hexaèdres qu’ils déterminent, couperont de la môme manière toutes celles de la série (II) à laquelle elles appartiennent, et se couperont mutuellement suivant le cercle (A), lieu géométrique de tous les points limites de la série.
phopiuété de ces points. i a5
En effel, chacune des sphères (II') ,rJ -4- y' -f- z1 — na.x — 2p^ — r*— o,
ou, au moins, chacune des vingt-huit sphères conjuguées qui y sont comprises sera coupée orlhogonalrment par toutes les sphères de la série suivante :
(III') -r1 4- X 1 -4- z1 — lafx — — 27' z -4- a' = o,
si la condition connue
u 4- n' — îa»’ — 2 pp' — 277'= o, c’est-à-dire ici
(c) — r1 -4- ci' — 2a*'-t- 2 pp'= O,
est vérifiée, quelles que soient les valeurs des paramètres a, (3, ou au moins pour toutes les valeurs de ces paramètres qui correspondent aux vingt-huit sphères conjuguées; et comme les centres (z = o, x =■ a, y = (3) de ces dernières ne sont pas situés en ligne droite, on doit poser simultanément, pour l’un et l’autre cas,
(C) a'=o, p'=o et a'= r*.
Or il résulte de ces conditions que toutes les sphères de la série orthogonale (III') se coupent suivant un même cercle représenté par les équations
de là cette seconde analogie au théorème de Plucker :
Les sphères diagonales de toutes les surfaces du second ordre, inscrites à un système de huit / dans , se coupent suivant un même cercle a) ont pour axe V axe conjugué des huit plans du système (o = x = >', z — dzr). Le centre de ce cercle est au point milieu de cet axe, et son rayon est égal à sa demi - longueur multipliée par \j — » .
La première idée de ces analogies parait encore devoir être attribuée à M. Mention (Nouvelles Annales de Mathématiques, 1857, p. 23a), bien qu’il ail considéré seule-
mcnl le cas limite des paraboloïdes inscrits à un syslème de sept plans.
120. Les sphères contenues en nombre triplement infini dans l' équation
ont un même centre radical : le centre de la su face du second ordre inscrite aux neuf plans P, . . . P, = o. Et les points limites des sphères de cette série sont distribués sur une meme sphère : la sphère diagonale de cette surface.
127. Connaissant un hexaèdre conjugué P, .. .P6 = o et 1 un des plans directeurs P, = o d'un ellipsoïde de révolution, le foyer correspondant est l’un des deux points sphériques des sept plans P,...P6P,= o; c’est ce qui résulte, des équations équivalentes
de la surface considérée, et de l’identité résultante V >. P? — (* — *}’+ (y— ?)’+ (z - y)'.
THÉORÈMES GÉJVÉflAUX.
