THÉORÈMES GÉNÉRAUX

Sommaire. — De deux théorèmes généraux sur les lieux plans ou solides de tons les ordres et de toutes les classes; et de leur application à quelques-uns des problèmes antérieurs.

§ I. — De l'identitc normale \ X, P"= o, ou de la propriété de p- 1- i éléments associés suivant le module m.

128. C’est l’une des richesses de la géométrie et sans doute aussi l’une de ses imperfections que, n’ayant d’autres limites que celles de l’espace et s’y pouvant répandre dans tous les sens, elle puisse aussi se réduire à de telles dimensions quel'on veut et croître encore, sans limite, dans l’espace le plus limité. Les problèmes nouveaux, qu’elle nous propose de loin en loin, excitent surtout notre intérêt ; cependant, si l’on y fait attention, aucune des questions qu’elle nous posait autrefois n’est épuisée, aucun de ses plus anciens problèmes n’a vieilli : ce qui a pu vieillir, c’est notre manière de les envisager; car, à peine venons-nous à changer de point de vue, que tout change en même temps. C’est une autre lumière, une hiérarchie meilleure, et, dans cet ordre nouveau qui commence, la nature même des choses semble renouvelée. Les choses pourtant sont demeurées les mêmes, et celte dernière forme qu’elles viennent de recevoir est peut-être infiniment éloignée de leur forme dernière.

Ainsi nous apparaît encore aujourd’hui celte grande théorie des coniques, presque aussi vieille que le monde, édifiée en quelque sorte de la main des siècles, niais lou-

jours inachevée, et dont la reconstruction récente comptera parmi les travaux du nôtre. Mais sans méconnaître la grandeur de cette nouvelle mise en œuvre, ni les beaux accroissements qu’en a reçus la géométrie générale, on petit se demander si cette reconstruction doit être définitive; et, pour le cas où ce bel édifice serait un jour achevé, quel sera, eu regard du principe unique qui y supporte déjà toute la théorie des coniques, le principe assez puissant pour soutenir de même toutes les propriétés des surfaces du second ordre.

Tel est, du reste, l’intérêt qui s’attache aux plus hautes entreprises, comme aux œuvres où l’on découvre d’abord le plus de perfection, que notre anxiété devance toujours leur achèvement; et que, ni les plus heureux commencements ne nous rassurent tout à fait sur leur issue, ni la perfection des détails que nous pouvons saisir déjà sur la perfection définitive de l’ensemble. ftous voyons bien ici toutes les propriétés des courbes du second ordre découler, avec une plénitude merveilleuse, d’un principe unique ou de deux principes parallèles, eux-mêmes tirés delà seule définition de ces courbes regardées, en quelque sorte, à travers le cercle dont elles font la perspective. Mais, si nous essayons de passer de là aux surfaces du second ordre, ces deux principes généraux, où était précédemment le nœud de tout le reste, nous demeurent cachés; et cette première définition, qui nous les découvrait tout à l’heure, nous fait absolument défaut. Ou elle existe, et nous l’ignorons; ou, ce qui est plus vraisemblable, il ne peut en exister de quelque ressemblance avec l’autre; puisque l’analogie voudrait que, comme on a fait intervenir pourcelle-là celle troisième dimension que possède l’étendue, une quatrième, qui lui manque, intervint de même dans celle-ci. La géométrie est donc muette sur ce point, et, si nous pouvons apercevoir quelque chose des dépendances qui existent entre dix éléments d’une surface du second ordre, c’est, sans doute, de