THÉORÈMES GÉNÉRAUX. I

la définition analytique de ces surfaces, ou de l’équation à dix termes

ax7- 1- a' y7 -+- 3" z2 -f- 2 byz -f- 2 b’zx -+- 2 b" xy

-f-2c.r +lc'y -4-2 c" z -+-(/= o.

que nous viendra quelque lumière; bien que cette équation paraisse d’abord assez obscure, et d’une exactitude si diffuse que nous u'apercevon* d’une manière distincte aucun des points qu’elle nous désigne. Mais il en est ici comme de beaucoup de vérités dont une moitié, obscure, importe peu et nous préoccupe exclusivement; tandis que l’autre moitié qui n’csl que lumière, et qui est tout, nous échappe. Cette équation, il est vrai, ne nous donne que des indications fort embrouillées sur chacun des points dont nous voudrions saisir l’ordre et la distribution dans l’espace. Mais ces indications d’abord sont les seules possibles; et pût-elle nous les donner en des termes plus simples, cela importerait peu et ne remplirait ni nos vues, ni son véritable rôle, qui est de nous mener, par cette définition obscure de chacun des points de la surface, à une notion d’une simplicité inattendue, touchant les dépendances mutuelles de dix quelconques de ces points. Telle est, effectivement, la condition nécessaire et suffisante pour que dix points de l'espace appartiennent à une. même surface du second ordre , que les carrés de leurs distances à un plan quelconque A x 4- Bj -f- C z 4- 1 = o, soient liés par une re/a lion linéaire et homogène

(.') P; =V\ (A*, -h Br, + Cs, 4- ij*

de telle manière que la fonction^ X, PJ soit nulle identi-

quement, quel que soit le plan considéré. Toutefois, comme il y a toujours dans les spéculations même les plus indépendantes de l'observation quelque point que la théorie ne tire pas d’elle-même, mais d’un fait extérieur qu’elle aura

recueilli et dont elle aura cherché l’explication; nous avons dû rencontrer au dehors cette propriété des dix points et la créer, en quelque sorte, où elle n’était pas, avant de la reconnaître où elle est réellement : dans l’équation (i), c’est-à-dire dans quelques signes de cet alphabet merveilleux où Descartes nous apprit à lire, et que, peut-être, nous ne posséderons jamais entièrement.

D’ailleurs, ce principe isolé, ainsi recueilli par l’observation, suggère naturellement l’idée d’une loi générale embrassant les courbes et les surfaces de tous les ordres et de toutes les classes, et que l’on peut comprendre dans les deux énoncés suivants :

Si a désigne le nombre des points nécessaires pour la détermination d’une courbe plane ou d’une surface de l’ordre ni, les puissances ni des distances de [i + i /saints d’une telle courbe ou d’une telle surface, à un plan quelconque, sont liées par une relation linéaire et homogène :

et la meme propriété subsiste /jour un groupe t/uelconque de p' -f-i /joints associés suivant le module ni; c'est-à-dire tels que toute courbe plane ou toute surface de l’ordre m, qui serait menée par tous ces points moins un, passe d’elle-méme par le point que l’on avait omis.

Ces deux principes ne

Si fi désigne le nombre des tangentes ou plans tangents nécessaires pour la détermination d ’ une courbe plane ou d’une surface de la classe m, les puissances m des distances de fi 4- i tangentes ou plans tangents il’ une telle courbe ou d’une telle surface, à un point quelconque du plan de ta courbe ou de l’espace, sont liées par une relation linéaire et homogène :

et la meme propriété subsiste pour un groupe de fi'4- l droites, ou de fi'4-i plans associés suivant le module m; c’est-à-dire tels que toute courbe plane ou toute surface de la classe m qui serait menée tangentiellement à toutes ces droites moins une, ou à tous ces plans moins un, soit d’elle-méme tangente à la droite ou nu plan que l'on avait omis.

tiendraient-ils pas, pour les

THÉORÈMES GÉNÉRAUX. l3t

lieux géométriques, plans ou solides de tous les ordres et de toutes les classes, cette première définition que nous demandions tout à l’heure à la géométrie pour les seules surfaces du second ordre? Nous croyons qu’il en est ainsi; et si l'on doit juger de leur rôle, dans l’étude des lieux géométriques d’ordres supérieurs, d’après tout ce qu’ils donnent, comme d’eux-mèmes, pour les lieux plans ou solides du second ordre, on est conduit à leur attribuer une importance qu’il restera à vérifier, mais qui, dès à présent, •ne parait pas en désaccord avec leur simplicité. Si, par exemple, l’on traduit en langage algébrique ces deux énoncés :

II existe une relation linéaire I et homogène entre les carrés des distances de six points d’une conique, ou de dix points d’une surface rlu second ordre à une droite menée arbitrairement dans le plan de la courbe, ou à un plan arbitraire ;

les identités correspondantes

Il existe une relation linéaire et homogène entre les carrés des distances de six tangentes d'une conique, nu de dix plans tangents d’une surface du second ordre à un / joint pris arbitrairement dans le plan de la courbe, ou dans l espace;

contiennent en quelque sorte la loi de symétrie ou d’équilibre de six éléments d’une conique, de dix éléments d’une surface du second ordre. Et si l’on vient à rompre la symétrie, en écrivant

pî=).sp; + >0pj.

l’équilibre est rompu de même, et le mouvement qui se

produit laisse à découvert, d’un côté le théorème de Pappus, celui de Desargues et leurs corrélatifs, de l’autre les théorèmes analogues, jusqu’ici ignoiés, de la géométrie de l’espace. Ajoutons que le théorème de Pascal et son corrélatif résultent aussi des deux identités contenues dans la formule (i). Mais ces théorèmes ne peuvent plus se lire, à première vue, dans ces identités; il y faut quelque calcul, et cette différence suffit pour que les propriétés correspondantes des surfaces du second ordre nous demeurent cachées. Pour incomplets qu’ils soient encore, ces résultats,» rapprochés des tentatives de plusieurs géomètres peu habitués cependant à voir leurs recherches infructueuses, permettent île juger des services que peut attendre la géométrie du principe que nous proposons, lorsque, passé en de nouvelles mains, il aura reçu quelques-uns des accroissements dont il parait susceptible.

129. Occupons-nous maintenant de la démonstration de nos deux théorèmes, et, pour nous borner au cas qui exige le moins d’espace, établissons seulement que pour que six points appartiennent à une meme courbe du second ordre, il faut et il suffit qu il existe une relation linéaire et homogèue

X, (Ar -f- Bj .-f- C)’ = o,

entre les carrés de leurs distances à une droite menée d'une manière quelconque dans le plan qu'ils déterminent .

Soient, à cet effet (x,,j,), (x„j, ),..., (x„yt), les points considérés. S'ils appartiennent à la courbe dusecond ordre représentée par l'équation

ax ’ -t- bxy -+-

cy1 + dy + ex -h / = - o.

les six

égalités suivantes :

ax J -+- bx, y, -J- ry

î -t- dy, + ex, +/— 0 ,

ax J bx,y , -1- . .

ax\ -4- b.rfy,- 1- . .

PROPRIÉTÉ DE SIX POINTS Il’l'ÏE CONIQUE. l33 feront, par rapport aux six coefficients a, b , c, d, <?, /, considérés comme inconnus, un système d'équations linéaires et homogènes compatibles entre elles, puisqu’elles sont vérifiées déjà par les coefficients de la courbe proposée (I). Le déterminant du système est donc égal à zéro, et l’on peut écrire

X>X) y\ x< Ji 1 x\ xiX* Xi 1

D'un autre côté, pour qu’il existe une même relation littéraire et homogène

(I'J Vl,P; = o', ou ^ X, (A.r, + B/, + C)!so,

entre les cariés des distances des six points (xl,yl), .... (x6, v6) à une droite quelconque

il faut que les coefficients des termes en