X.rî -4- X,vi

>, X, -+- >3 Xi

Xi ■+-

linéaires et homogènes, par rapport aux coefficients inconnus X,,. . ?.6, admettent une solution commune; ce qui exige que le déterminant de ce nouveau système soit égal

à zéro, ou que

l’on ait

rl 'rî

SÎ

Or on passe, de l’un à l’autre des déterminants (C), (C'), par l’échange des lignes horizontales ou verticales de l’un dans les lignes verticales ou horizontales de l’autre. Ces déterminants sont dès lors identiques, et l’une quelconque des équations de condition (C) ou (C') entraîne l’autre, i Six points situes d’une manière quelconque sur une même courbe du second ordre vérifient donc l'identité

= o-, et, réciproquement, six points qui satisfont

à une telle identité appartiennent à une courbe du second ordre.

Le cas général d’une courbe ou d’une surface de l’ordre m se traiterait exactement de la même manière.

130. Sco/ie. — La démonstration peut aussi se faire en dehors des déterminants. 11 suffit, pour cela, d’établir que les six équations (t'), (2 (6') se réduisent à cinq en

vertu des égalités (1), (2).. . ., (6); ou, inversement, que les six équations (1), (2), ..., (6) se réduisent à cinq en vertu des égalités (t'), (2'),. . ., (6').

Or, si nous considérons (1), . . . , (6) comme des égalités, chacune des fonctions numériques (1),..., (6) est identiquement nulle, et l’on a aussi identiquement

d’ailleurs, cette identité, ordonnée par rapport aux coefficients a, b, c, d, c,f peut s’écrire