LIEUX GÉOMÉTRIQUES. I

conique définie, non plus par cinq points ou cinq tangentes, mais par cinq couples de droites ou de points conjugués. Et comme la construction d’une conique, d’après cinq de ses points ou de ses tangentes, résulte de fa propriété de six points ou de six tangentes d’une telle courbe, il convient d’abord de rechercher quelque propriété analogue de six couples de droites ou de points conjugués par rapport à une conique. Et c’est à quoi l’on est conduit par les problèmes que nous allons résoudre. Nous rencontrerons d'ailleurs, chemin faisant, diverses propositions de quelque intérêt en elles-mêmes, et qui nous permettront un peu plus loin de construire, par la règle et le compas, le cercle oseulaleur d’une courbe gauche du quatrième ordre, le cercle oscillateur et la sphère osculalrice d'une cubique gauche.

147. Du lieu des centres des coniques conjuguées à trois couples de droites, el dont les carrés des demi-axes principaux conservent une somme constante.

i). Lemme. Le produit des distances du centre d’une conique à deux droites conjuguées quelconques est égal à la somme des produits obtenus en multipliant le carré de chacun des demi-axes principaux de la courbe par le produit des cosinus des inclinaisons sur cet axe des normales à ces droites :

(I) PP' = n’cos (N, a) cos (N’, a) -t- i’cos (N, b) cos (N', b).

Rapportant, en effet, ces droites aux axes de la conique conjuguée

par les équations

.t cos A +^sinA — 0 = 0, xcos A'-t-/sin A' — a'— o;

et exprimant que le pôle de l’une d’elles, par rapport à la courbe, appartient à l’autre, on obtient la condition

(!') btü'— nJcosAcos A'-t- i^sinAsin A'.

Or, les relations (I), (I') sont équivalentes, et la première (I) est applicable à un système quelconque d’axes coordonnés.

2). Soient donc, par rapport à des axes rectangulaires quelconques, or, oy ,

les trois couples de droites données; chacune des fonctions P„, P^, étant de la forme

P„ = rt.r -H b, y — ct., P 'n—anx -t- b'„ y — ct'„;

où an et b„ , a'n et b'n désignent les cosinus des inclinaisons respectives sur ox et oy des normales N, N* aux droites considérées, ou les cosinus directeurs de ces normales.

Si a et (3, a' et (3' désignent de même les cosinus directeurs de chacun des axes principaux 2 a, 2 b d’une ellipse conjuguée aux deux droites de chaque couple, on aura, pour le produit des distances du centre (x,y) de celte ellipse à ces droites, cette double expression

P„ P'„ = nJcos(N,«) cos(N', n) -I- è’cos(N, b) cos(N\ b) ; ou, en développant les cosinus,

Appliquant cette relation aux trois couples droites P, P',, P, F,, Pj P3, il vient

et l’on aura le lieu des centres (x,y) de toutes les ellipses analogues en éliminant les trois paramètres indépendants auxquels se réduisent les six variables a, b-, a, (3; a', entre ces trois équations et la suivante :

({) n’ -t- b1 — k* = const.

Or si, désignant par trois coefficients définis par

d’un cercle qui dépend de six droites.

les conditions

I)., a, a', -t- À, Oj a\ -+- X3 a 3 = i ,

1, (a, 4 , + 4, n, ) -+- Xj (a, 4, -t- 43 a 3) -t- X3(a3 4 , -t- 43n 3 ) — o ,

on ajoute, membre à membre, les équations (t), (a), (3) après les avoir multipliées respectivement par les nombres X,, ^s,^j : le second membre de l’équation résultante devient, en vertu des relations que l’on vient d’écrire,

(«Ja’ -t- a3 fi1) -t- (4Ja,J -t- 4I|J'5)

toutes les variables se trouvent éliminées, et l’on obtient celte équation du lieu

D’ailleurs, les termes du second degré de cette équation se réduisent à x! +Jt en vertu des relations (1) ; le lieu considéré est donc un cercle, et l’on a ce théorème :

Théorème I. — Le lieu îles centres îles coniques conjuguées aux trois couples de droites P, F, , Ps P3, Ps P3, et. dont les carrés des demi-axes principaux conservent une somme constante , est le cercle représenté par V équation

148. Corollaire I. — Si l'on appelle cercle associé des trois couples de droites P, P, , Ps P2, P3 P'3, le cercle détermine, représenté par l’équation r

on pourra dire que la somme des carrés des demi-axes principaux d'une conique conjuguée à trois couples de droites est. égale à la puissance du centre de la courbe par rapport au cercle associé de ces droites ; ou encore que

le cercle diagonal d’une conique conjuguée à trois couples de droites et le cercle associé de ces droites se coupent orthogonaleme/i t .

1 49. Corollaire II. — Si les droites conjuguées P, et Pj , Ps et F,, P, et Pj se confondent deux à deux, le lien précédent se transforme dans le lieu «les centres des coniques inscrites au triangle P, P, P, et soumises à la condition a* -t- b1 = const. On retrouve ainsi le cercle

(I') ^ À, Pj = a' -t- 6’ (n° 90, p. 77 ).

450. Corollaire III. — Les trois couples P, et F,, P, et F,, Ps et F, contiennent seulement trois droites distinctes Pi, Ps, P5, si l’on a identiquement F,^P,, F,=PS, F,=P,. Le cercle représenté par l’équation correspondante

(I") X, P, P, -t- h P, P> -4- h Pa P. = + A*

est donc le lieu géométrique des centres des coniques soumises à la condition a' -f- IP = const. et conjuguées au triangle P, Ps P, ou aux trois couples de droites P, P,, P, P„ P, P,. Le cercle circonscrit au triangle 123 et le cercle (I") sont concentriques.

151. Scolie. — Il nous reste à construire le cercle (I), ou le cercle concentrique

lieu spécial des centres des hyperboles équilatères conjuguées aux trois couples P, F, , . . . , Ps F, .

Soient, à cet effet (pu p\ ; /?,, pj-, P>, p\) les coordonnées d’un po?nt quelconque du plan de la ligure, et

(a) X, (j p , Pj -t- p\ P,) -t-X, (p, Pj +//, Pi) -4- X3 (Pi Pj -t- //, P,) = o

la polaire de ce point par rapport au cercle inconnu (II). Si l’on pose

(ii o =p, =p\ ,

d’une droite qui dépend de huit AUTRES. I 5 7 le point dont il s’agit n’est autre que le sommet de l’angle

forme par les droites de la première couple; et sa polaire, représentée par l’équation

' >1 {P> P', -+- P, Pl ) + P', ■+■ />'» P») = « 1

passe par l’intersection des polaires pt P'j + p\ Pt = o, ps P’, -f- p\ P, = o de ce même point (i) par rapport aux

angles P, P’,, P3 P', des deux couples restantes.

Les points ri' intersection

I = P, P', , 2 = Pï P'j , 3 = P, P',

(les deux droites de chaque couple, et les points de concours

des polaires des précédents i , 2, 3 par rapport aux angles formés des deux droites de chacune des couples restantes, déterminent donc trois systèmes

de points conjugués par (apport au cercle (II). El celui-ci n’est autre que le cercle orthogonal aux trois cercles décrits sur les segments

comme diamètres.

Io2. Théorème II. — Le lieu des centres des coniques conjuguées aux quatre couples P, P',,. . . ,P, P’, n'est autre que la droite déterminée représentée par l'équation

ou l'axe radical commun à tous les cercles contenus, en nombre infini, dans cette même équation , et parmi lesquels se trouvent. , au nombre de quatre , les cercles associés de trois quelconques des quatre couples données.

La somme des carrés des demi-axes principaux de l’une

quelconque des coniques actuelles est effectivement mesurée (n° 148, p. 1 55 ) par la puissance du centre de cette conique par rapport à l’un quelconque de ces derniers cercles

Le centre de l’une quelconque de ces coniques appartient donc à l’axe radical de ces cercles ou à la droite représentée par l’équation (i). Et puisque l’on sait construire (n° 151, p. i5y) chacun des cercles (2), (3), on saura de même construire leur axe radical, ou la droite associée des quatre couples données représentée par l'équation (1).

153. La droite associée de quatre couples de droites, A = o, représente encore la corde commune, située à distance finie, de deux coniques homothétiques respectivement circonscrites à deux quadrilatères dont les couples de côtés opposés, reproduiraient, dans un ordre quelconque, les quatre couples données. La définition de cette droite entraîne effectivement l’identité

et sa construction, la construction de ce problème ;

Circonscrire à deux quadrangles donnés un système de deux coniques homothétiques.

154. Les deux cercles de rayon nul, ou les points limites des cercles de la série (1), représentés par l’équation particulière

(t") o=Vli1Pl?,a(*-A)1+(;-B)'l

seront fournis par les points de commune intersection des quatre cercles associés de trois quelconques des couples données.

d’une conique qui dépend de dix droites. i5g

Dans le cas spécial où trois des quatre couples sont formées de droites coïncidentes, ces points limites

(i*) o=yx,Pî + W*4S(*-A)’+(.r- B)=

se peuvent déterminer à priori, et leur situation sur trois cercles, qu’il est facile d’apercevoir, entraîne le théorème suivant :

Si 1 , 2, 3 désignent les sommets d’un triangle quelconque P, Pt Pa = o et 1 ', 2', 3' les traces , sur les cotés opposés, des polaires de ces sommets par rapport à un même système de deux droites P, Iv( = o : les cercles décrits sur les segments 11', 22', 33' comme diamètres , se coupent suivant les deux mêmes points.

155. Théorème III. — Le centre d’une conique dejinie par cinq couples de droites conjuguées P, P',. . . ,P, P1,, n est autre que le point de concours de toutes les droites ou le centre radical de tous les cercles contenus en nombre infini dans l’équation

Et le cercle diagonal x* 4- y* = a* -+- b1 de cette conique — -t-p = i coupe orthogonalement tous les cercles de la série.

On pourra donc construire, par la règle et le compas, le centre et le cercle diagonal d’une conique définie par cinq couples de droites conjuguées. Nous verrons plus loin que la détermination du cercle osculateur en un point quelconque d’une courbe gauche du quatrième ordre dépend de cette seule construction.