Considérons six couples

P1P', = o,...,PeP't=o

de droites conjuguées par rapport à une même conique. En vertu du théorème précédent, chacun des diamètres de la courbe pourra être représenté par l'une ou l’autre des équations

et celles-ci étant équivalentes, on aura l'identité

Telle est donc l’expression analytique des dépendances existant entre six couples de droites conjuguées par rapport à une même conique , que les produits des distances d'un point quelconque du plan de ta courbe aux deux droites de chaque couple soient liés par une même relation linéaire et homogène

157. Réciproquement, six couples de droites qui donnent lieu à l’identité

J ont toujours six couples conjuguées à une même conique.

Le centre de la courbe délinie par les cinq couples de droites conjuguées 1, 2, 3, 4,5 se trouve en effet au point de concours de toutes les droites contenues dans l’équation

le centre de la courbe définie par les couples 2, 3, 4, 5, 6 au point de concours de toutes les droites

La*

Or ces deux séries de droites coïncident, en vertu de l’ideii-

PROPRIÉTÉ DE SIX COUPLES DE DROITES CONJUGUÉES. l6l

tité supposée (i). Et les deux coniques précédentes, ayant le même centre et quatre couples de droites conjuguées communes, se confondent.

158. Corollaire. — Pour que l’on puisse circonscrire à trois quadrilatères donnés trois coniques qui se coupent suivant les quatre mèrucs points, il faut cl il suffit que les côtés opposés de ces quadrilatères forment six couples de droites conjuguées par rapport à une môme conique.

159. Lorsque cinq couples de droites donnent lieu à l'identité

toute conique conjuguée aux deux droites de quatre de ces couples est par cela même conjuguée aux deux droites de la cinquième.

Car si l’on imagine l’une quelconque des coniques conjuguées aux quatre couples P! F, , . . . ,P* F4, et que A A', B B', désignent deux autres couples de droites conjuguées à cette conique, on aura identiquement, par le théorème du n° 156, p. |6o,

Et si, entre cette identité et la précédente (i), on élimine le rectangle P, K,, on aura encore identiquement

(3) \^v, P, P', +AA'+ BB'so.

Les deux droites P,, F,, qui n’entraient point dans l’identité (2), mais qui figurent dans celle-ci, se trouvent donc conjuguées par rapport à cette conique' particulière que nous avions» considérée d’abord et qui n’était autre que l’une quelconque des coniques conjuguées aux quatre couples P, F, , . . . , P* F4 . Donc, etc.

160. De là un théorème important, et dont nous rencontrerons, par la suite, de nombreuses applications.

Le lieu géométrique des pôles d'une droite fixe ,

par rapport à toutes les coniques conjuguées aux quatre couples de droites

n'est autre que la droite A' = o définie par l'identité (i) P, P'1 + AA'=o.

§ II . — Théorème corrélatif, ou propriété de six couples de points conjugués par rapport à une conique.

161. La propriété de six couples de droites conjuguées se peut établir à priori , d’une manière synthétique, et indépendamment des problèmes qui nous y avaient conduit. C’est aussi la seule marche que nous ayons à suivre pour l’établissement du théorème corrélatif qui est le suivant.

Théorème. — La condition nécessaire et suffisante pour que les douze points représentés par les équations tangenlielles .

P, P, — o,..., PcP',= o,

fassent six couples de points conjugués par rapport à une même conique est qu'il existe une relation linéaire et homogène

entre les produits des distances des deux points de chaque couple à une droite tracée d'une manière quelconque dans te plan de la courbe.

Soient, en effet,