A’, B5, C’, AB, BC, AC

admettent en X,, . . . ,X„ une solution commune; ou enfin que ces six équations se réduisent à cinq par la réduction à la forme identique o = o de Tune de leurs combinaisons. Or c’est justement ce qui se produit ici, aussitôt du moins que l’on a égard aux relations donn ées (i),...,(6).

Trois des six équations en X,, . . . ,X6 sont effectivement

dont la combinaison

zn,*,

S6 1 v v' -I Al Jl / |

se réduit à l’identité

ainsi' que cela résulte des égalités (i), (a),. . .,(6) mulii-

pliées respectivement par les nombres X,, Xj,...,X6 et ajoutées membre à membre. Donc, etc.

La proposition réciproque s’établirait d’une manière analogue.

162. Lorsque cinq couples de points donnent lieu à l'identité tangentielle

)„ P, P'.sso,

toute conique conjuguée aux deux points de quatre de ces couples est par cela meme conjuguée aux deux points de la cinquième (p. 161, n° 159).

Scolie. — L’enveloppe des polaires d'un point, fixe A — o par rapport à toutes les coniques conjuguées aux quatre couples de points P, P', , . . . , Pt P1, , n'est autre que le point A' — o défini par l'identité tangentielle

\ P, Pj-t-AA' = o.

^ 111. — Du lien des centres des hyperboloïdes èquilalères conjugués à six couples de plans , ou de la sphère définie par l’équation

Théorèmes .

163. Du lieu des centres des surfaces du second ordre conjuguées à six couples de plans , et dont les carrés des demi-axes principaux conservent une somme constante.

1). l.emme. — Le produit des distances du centre d’un ellipsoïde à deux plans conjugués quelconques est égal à la somme des produits obtenus en multipliant le carré de chacun des demi-axes principaux de la surface parle produitdes cosinus des inclinaisons de cet axe sur les normales

l.IEU GÉOMÉTRIQUE. 1 65

aux deux plans conjugués dont il s’agit :

; P. P' = o’cos (N, n)cos (N', a)

,l' -H è3cos(N, i)cos(Pi',è)

-t- c' cos ( N , c) cos (N', c).

Rapportant, en effet, ces deux plans aux axes de la surface conjuguée

par les équations

xcosA + jcosB 4- zcosC — u=o,

■rcos A' 4-,ycosB' +- zcosC' — o'= o;

et exprimant que le pôle de l’un de ces plans, par rapport à la surface, appartient à l’autre, on obtient la condition

(!') et. a' = «J cos A cos A' -t- i!eosBeosB'-t- c’cosCcosC'.

Or les relations (I), (I') sont équivalentes, et la première est applicable à un système quelconque d’axes coordonnés.

a). Soient donc, par rapport à des axes rectangulaires quelconques ox, oj, oz,

Pi P1, — o , P2 P', = o , . . . , Pe P', = o ,

six couples de plans; chacune des fonctions P„, étant de la forme

P„ = a„ x -t- bny 4- c„ z — ct„ , P^, = a'„ x 4- b'„ y 4- r„ z — ct'„ ;

et a,„ bn,c,„ (in,b'n,cn désignant les cosinus des inclinaisons respectives, sur ox, oy, oz, des normales N' aux plans considérés, ou les cosinus directeurs de ces normales.

Si «, (3, y, a.', (i', y1, a", fi", -/' désignent de môme les cosinus directeurs de chacun des axes principaux 2 a, 2 b, 2 c d’un ellipsoïde conjugué aux deux plans dechaque couple; on aura, pour le produit des distances du centre (x, y, z) de

cet ellipsoïde à ces deux plans, celle double expression :

P„ P'„ = a’cos(N, a) cos (N', a)