c5cos(N, c) cos(N', c

ou, en développant les cosinus,

1 P« P„ — a’ (n« B 4- b„ p 4- c„y)(a„a 4- b'„ fi 4- C„y)

(n) î 4- 4* («,«'4- 4. P' 4- *■,/)(<?!, a' 4- b'„fl’+cnÿ)

I 4- c»(fl.a" + i„p“4-c.7").("U"+ O" Appliquant successivemenl cette relation aux deux plans P, et F, , P6 et F# de chaque couple, il vient

(2) PiP1^

Et l’on aura le lieu des centres (xyz) de tous les ellipsoïdes analogues en éliminant les six paramètres indépendants auxquels se réduisent les douze variables a, l>.c, a,[l,y, a.', ji', y', a", fi", y" entre ces six équations et la suivante:

( 7 ) as 4- b* 4- c1 — const.

Or si l’on désigne par ij,. . . ,i6 six coeflicients définis par les conditions

1 ^ bt b ( ~ i ,

= > ).,(«. C, 4- Ci

et que l’on ajoute, membre à membre, les équations

d’une sphère qui dépend de douze plans. 167 (1), (2), . . .,(6), multipliées respectivement par les nombres X,, X,,. . . ,X6 : le second membre de l’équation résultante devient, en vertu des conditions (X),

toutes les variables se trouvent donc éliminées; et il vient, pour l’équation du lieu,

^Tx,P, V\=a'+b' 4-c*.

D’ailleurs les termes du second degré de cette équation se réduisent à x* +jr* 4- z*, en vertu des relations (X); le lieu trouvé est une sphère, et l’on a cette proposition :

Théorème I. — Le lieu des centres des ellipsoïdes , conjugués aux six couples de plans P, F( , . . . , Pe , et dont les carrés des demi-axes principaux conservent une somme constante, n'est autre que la sphère déterminée, représentée par l'équation

■164. Corollaire I. — Si l’on appelle sphère associée des six couples de plans P, P,| , . . . , P6 P'f la sphère unique et déterminée, représentée par l’équation

on pourra dire que la somme des carrés des demi-axes principaux d'un ellipsoïde conjugué à six couples de plans est égale à la puissance du centre de cet ellipsoïde par rapport à la sphère associée de ces plans ; ou encore que la sphère diagonale d'un ellipsoïde conjugué à six couples de plans et la sphère associée de ces plans sont orthogonales.

165. Corollaire II. — Si les deux plans de chaque couple se confondent, P,== ïyi . . . . , P6 =FS , le lieu pré-

cèdent se transforme dans le lieu des centres des ellipsoïdes inscrits à l'hexaèdre P, ... P, , et soumis à la condition ax +■ c* = const. On retrouve ainsi la sphère

Et si les douze plans des six couples données se réduisent à quatre plans distincts, P, , . . . , P4, lesquels, combinés deux à deux, forment en effet les six couples P, P,, P, Ps, P, P4, Pj P,, P3 P4, P4 P,; le lieu précédent se transforme dans le lieu des centres des ellipsoïdes , conjugués au tétraèdre P, . . . P4, et soumis à la condition a 1 -+■ b* -+- c* = const. On trouve ainsi la sphère circonscrite au tétraèdre , si la constante est nulle ; ou une sphère concentrique

ii. P,

Ps = «* 4- b* -+~ c’, dans le cas contraire.