Sco/ie. — Il resterait à construire la sphère (I), ou

seulement la sphère concentrique^ P, P, = o; et c’est

à quoi l’on peut parvenir de deux manières différentes dont l’une offre quelque analogie avec la méthode par élimination usitée eu algèbre.

i). Supposons d’abord que cinq des six couples données soient formées de plans coïncidents, ou que l’on ait à construire la sphère représentée par l'équation

p; pp' = o.

Ou reconnaîtra aussitôt que le plan polaire , relatif à la surface (i), de chacun des dix sommets du pentaèdre

Pi P1P3P4 P. — u,

passe par la trace de V arête opposée sur le plan polaire du même sommet par /apport au dièdre P, P' : o=p, ).,p, P. -4-)s/>s P» -f- (pP’ + p’P) = o.

O11 connaît donc ici dix couples de points conjugués , ou

CONSTRUCTION DE LA SPHÈRE 2* A, P, P, = O. l6f)

dix sphères orthogonales à la sphère cherchée; et l’on a en même temps ce théorème :

Si l'on nomme diagonales de la figure formée d’un pentaèdre et d’un dièdre chacune des droites menées de l'un quelconque des sommets du pentaèdre à la trace de barète opposée sur le plan polaire de ce sommet par rapport au dièdre donné; on pourra dire que les dix sphères décrites sur chacune des diagonales d'une telle figure comme diamètre sont orthogonales à une même sphère: la sphère(i), lieu géométrique des centres des hjperboloïdes équilatères inscrits au pentaèdre et conjugués au dièdre donnés,

La sphère précédente peut d’ailleurs se réduire à un plan : le plan médian de la figure, et qui contient alors, en même temps que les points milieux de toutes les diagonales, les centres de toutes les surfaces du second ordre inscrites au pentaèdre et conjuguées au dièdre donnés. Dans ce cas, les divers plans de la figure, transportés parallèlement à eux-mêmes en un même point de V espace , y déterminent cinq plans tangents et un dièdre conjugué à un même cône du second ordre.

2). Supposons, en second lieu, que qualredes six couples données soient formées de plans coïncidents; ou que l’on ait à construire la sphère

(2) V X,P; -f-PP'+ QQ'=o.

O11 reconnaît encore que le plan polaire, relatif à la surface (2), de chacun des sommets du tétraèdre P, P, Ps Pt passe par le point de concours de la face opposée et des plans polaires de ce même sommet par rapport aux dièdres

On connaît donc quatre coiqdes de points conjugués, ou quatre segments conjugués, par rapport à la sphère que

l’on cherche, et qui n’est autre, dès lors, que la sphère orthogonale aux quatre sphères décrites sur chacun de ces segments comme diamètre.

3). Supposons encore qu’il s’agisse de la sphère représentée par l’équation

(3) P; -I-PP' + QQ'h-RR'=o;

et faisant intervenir, en même temps qu’un plan auxiliaire quelconque P* = o, la sphère suivante que nous savons construire,

V p, PJ -f- m.PP' -+- m'.QQ'= o :

éliminons le rectangle PP' entre les'équalions (2) cl (3). L’équation résultante

V V, P? + n.QQ' + n'.RR' = O

représentera une sphère ayant un même cercle radical avec les précédentes (2), (3), et que nous saurions construire comme la sphère (2). Construisant dès lors chacune des sphères (2), (2') et leur cercle radical-, nous aurions, dans celui-ci, un premier cercle appartenant à la sphère (3) que nous cherchons. U11 autre cercle, appartenant à la même sphère, résulterait encore, par des considérations toute semblables, de l’élimination du rectangle QQ' entre les équations ( 2), (3) ; et ainsi de suite.

167. Mais la sphère générale ^ P, P, = o est susceptible d’une détermination directe dont la simplicité contraste d’une manière remarquable avec la multiplicité des données de la question.

Que l’on coupe, en effet, la sphère inconnue

PROPRIÉTÉ DE DIX COUPLES DE PLASS COJSJUGUÉS. I y I

par l’un des plans P6 ou P', = o : la section résultante sera l’un des cercles contenus en nombre infini dans l'équation

Or tous les cercles (t') sont orthogonaux à un cercle déterminé que nous avons appris à construire, car il n'est autre que le cercle diagonal de l’ellipse conjuguée aux cinq couples de droites II, II', , . . . , IIS IT5 (n° 155, p. 159).

On pourra donc construire le centre «6 et le rayon p„ de ce cercle diagonal; et l’on aura, dans la sphère de même centre et de même rayon, une première sphère orthogonale à celle que l'on cherche.

Cette même construction répétée nous pourra fournir quatre sphères analogues, orthogonales à la sphère cherchée, et qui suffisent à sa détermination.

Si la sphère précédente se réduit accidentellement à un plan, la trace de celui-ci sur l’un quelconque des plans donnés, tels que P6 ou F#, sera l’une des droites contenues en nombre infini dans l'équation

Mais toutes ces droites, comme l’on sait, concourent en un même point que l’on peut construire : car il n’est autre que le centre de la conique conjuguée aux cinq couples de droites résultant des traces du plan P6 ou que l’on aura choisi, sur les plans P, .P’1 , . . . , P5 .F, des cinq autres couples. On pourra donc obtenir de la sorte 6x2 ou 12 points du plan cherché dont la détermination est d’ailleurs comprise dans celle de la sphère précédente. Car si les quatre sphères orthogonales, à l’aide desquelles on déterminait celle-là, ont leurs centres sur un même plan, ce plan se substitue à la sphère cherchée; et telle est d’ailleurs la condition nécessaire et suffisante pour que celte

rédaction se produise, que les douze plans donnés, transportés parallèlement à eux-mêmes en un même point de l’espace, y déterminent six couples de plans conjugués à un même cône du second ordre.

168. Théorème II. — Le lieu des centres des surfaces du second ordre conjuguées aux n couples de plans P, F, ., P„ F„(n = y, = 8) ; ou le centre unique de la surface qu'ils déterminent ( n — y), coïncident avec le plan, Taxe ou le centre radical de toutes les sphères contenues dans l'équation

et le plan déterminé que représente cette équation pour n = y, la droite ou le pointd’intersection de tous les plans qui y sont contenus pour n = 8 ou ;» = 9, ont la même signification.

169. Théorème III. — La condition nécessaire et suffisante pour que dix couples de plans soient conjuguées à une même surface du second ordre est qu'il existe une relation linéaire et homogène

entre les produits des distances d' un point quelconque de l'espace aux deux plans de chaque couple (n° 104, p. 90); et, si n couples de plans donnent lieu à l’identité analogue

toute surface du second ordre conjuguée aux deux plans de n — 1 de ces couples sera d' elle-même conjuguée aux deux plans de la n‘,mr (n° 159, p. 161).

Scolie. — Le lieu des pôles d'un plan fixe A = o par rapport à toutes les surfaces du second ordre conjuguées