A’, B’, C% H1, AB, BC, AC, AH, BH, CH

se réduisent à neuf par la réduction à la forme identique o = o de l’une de leurs combinaisons ; et c’est justement ce qui se produit ici.

Quatre des dix équations en sont, en effet,

dont la combinaison

- ] Zl - |

se réduit à l’identité

en vertu de l’égalité (I). Donc, etc.

La proposition réciproque s’établirait d’une manière semblable.

171 . Lorsque n couples de points , définies par les équations tangentielles P, = o, . . . , P„ F„ = o donnent lieu à l'identité

DE L’iDENTITÉ £‘ X, P, P', = EJ U, X’. 1^5

toute surface du second ordre conjuguée aux deux plans de n — 1 de ces couples est d' elle-même conjuguée aux deux plans de la niim’ (n° 159, p. 161).

Les limites normales de ce théorème sont comprises dans les trois hypothèses n = 8, = 9, = 10. Toutefois l’identité précédente peut être vérifiée accidentellement pour l’une quelconque des valeurs 7, 6, 5, 4 fie l’indice n.

Corollaire. — L'enveloppe des plans polaires d’un point fixe A = o, par rapport à toutes les surfaces du second ordre conjuguées aux sept couples de points P, P, , . . . , P7 P, , n'est autre, que le point A' = o défini par l' identité tangentielle

P, P', +AA'so.

§ V. — Des n éléments communs aux courbes ou aux surfaces conjuguées à n couples fixes , et de la réduction d'une somme de n rectangles en une somme de n carrés :

172. Théorème. — Toutes les coniques conjuguées, en nombre infini, aux quatre couples de points P, P,,. . ., Pv P4 , se coupent suivant les quatre mêmes points réels ou imaginaires , et qui sont les quatre points distincts X = o définis par l'identité tangentielle

^'),P, P'.ssX’.

Si l’on exprime, en effet, que la courbe à coefficients indéterminés

(1) ax'+ 7.bxy -1- cy',+ 2.dr-\- ley + /■== o

est conjuguée aux deux points 1, . ., 4, 4' de chacune

des couples données; et que l'on résolve les relations résultantes

ax, x\ 4- b (.r,y, + x\ y,)

+ 0"| y, + rf(x,-4- X,) 4- f(;-|+.r',) +/— o,

flj-, X, 4- b {.J-, y, 4- x\ y, )

+cr*y. yi + e(/i4-yJ)-t-/=o,

par rapport à quatre quelconques des six coefficients a, b , c,. . on pourra les exprimer linéairement en fonction des deux autres, tels que a et c; et ces diverses expressions étant substituées dans l’équation (i), elle prendra la forme

(l') af(x,y)-{- df(x,y) = o.

Telle est donc l’équation générale des courbes considérées, et l’on voit qu’elles passent toutes par les quatre points de rencontre des deux suivantes

Quant à la seconde partie du théorème, elle résulte de la signification déjà connue de l’identité tangentiellc

et, comme elle exprime que toute conique conjuguée aux quatre couples de points P, P', , . . . , I\ P(, est aussi conjuguée aux deux points X, Y ; que, d’ailleurs, cinq couples de points conjugués par rapport à une série de coniques donnent toujours lieu à une telle identité : on voit, en supposant les deux points X, Y confondus en un seul, X=Y, que l’un quelconque des points X = o communs à toutes les courbes précédentes sera défini par une identité de la forme

rtiopnié/rÉ des codübes S[ P, P', = o. tyy Il existera donc, en général, quatre déterminations, et quatre seulement, du point inconnu X défini parcelle idenli té.

173. Scolie. — Si l’on pose m 4- n = 4> on pourra dire que toutes les coniques conjuguées aux m couples P, F, , . . . , Pm Pm et passant , en outre, par les n points A, .... , A„, passent d’e/les-mémes par chacun des m points X = 0 définis par l'identité

Nous aurons, d’ailleurs, à revenir sur la détermination graphique de ces points.

174. Le théorème précédent contient la définition générale des courbes contenues dans l' équation tangentielle

et comme on voit tout d'abord, par le nombre des paramètres qui y sont contenus, que toutes les courbes représentées par cette équation ‘'remplissent déjà deux conditions communes; si l’on demande quelle en est la nature, on pourra répondre que toutes ces courbes admettent deux couples communes de droites conjuguées, ou qu ' elles sont conjuguées à un même quadran gle , lequel a pour sommets les quatre points communs à toutes les coniques conjuguées aux quatre couples de droites P, P', , . . . , P, P'( .

Si X,,. . . ,XV désignent, en effet, ces derniers points, on aura par le théorème précédent

i.p.p'.sx;, W,p,p,=x;

et si, résolvant ces identités par rapport aux rectangles P, P1, ,..., P4 P',, on substitue les valeurs résultantes dans

l’équation (1), elle devient

où l’on reconnaît l'équation générale des coniques conjuguées au quadranglc X, . . . X4 = o.

175. Théorème corrélatif. — Les coniques conjuguées aux quatre couples rie droites P, P' , . ; . , 1\ lyt s'inscrivent d’e/les-mémes à un quadrilatère déterminé dont les côtés sont les quatre droites X = o définies par la relation identique

1, P, P'.ssX’

et dont les diagonales sont divisées harmoniquement par chacune des coniques contenues dans l'équation

176. Théorème. — Toutes les surfaces du second ordre, conjuguées aux sept couples de points P, P' , . . . , P, ly, passent d 'elles-mêmes par huit points déterminés et qui sont les huit points distincts X = o définis par l'identité tangeftlielle

V*. P, P', EEE X’.

Si l’on exprime, en effet, que la surface

ax’H- a' y'- 1- a“z‘- 1- 2 byz -4- 2 b'zx -+- ib"xy

-1-2 ex -+-2 c'y -t-2 c"z d — o

est conjuguée aux deux points 1, 7, 7' de chacune des

couples données, et que l’on résolve les équations résultantes

-hc"(z, + z,)-bJ=o,

ax- x. -t- a'y.y', H- a" z, z , + b [y, z\ -t -z,y\) + . . .

de l’identité P, P”, — (1, X ]. 179

par rapport à sept quelconques des six coefficients a. a', a",. . . , c , c\c", d; on pourra les exprimer linéairement en fonction des trois autres, tels que a, a1, a": et, ces diverses expressions étant substituées dans l’équation (1), celle-ci pourra s’écrire

Telle est donc l’équation générale des surfaces considérées, et l'on voit qu’elles admettent huit points communs : les huit points associés suivant lesquels se rencontrent les trois surfaces

Mais, en outre, comme par un théorème antérieur l’identité langenticllc