FIN DK LA TABLE DES MATIERES

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On sait ce que fut la révolution cartésienne : le Nombre prenant possession de la Géométrie, acceptant l’héritage des Anciens, mais sous bénéfice d’inventaire et comme pour soumettre toutes les vérités reçues à ses vérifications ; poussant ensuite au delà, avec nous, tantôt menant et infaillible, tantôt mené et n’oubliant rien derrière soi ; nous abandonnant, il est vrai, le choix de nos problèmes, se réservant, lui, jpour les résoudre : admirable Géomètre qui, portant la Géométrie à une impossible perfection, la supprimait du même coup si, capable comme il. l’est de répondre à toutes nos questions, il ne devenait muet à la fin, se refusant à nous suppléer davantage et nous laissant l’interprétation de ses oracles. Ainsi fait le Nombre. Ce qu’il sait le mieux, c’est encore son commencement. Toutes les obscurités dont il nous délivre, de prime abord, il nous les laisse pour la fin, accumulées en un môme point : quelquefois plus transparentes, s’il s’agit d’une chose simple, ou déjà connue, ou seulement supposée; plus opaques d’autres fois et d’une densité telle que, même en connaissant d’avance ce que l’on cherche, on ne le retrouve point. Le Nombre d’ailleurs, non plus que la Géométrie, ne peut vivre uniquement en soi. Les vérités, où il a pu atteindre, il a besoin de les répandre; et, pour qu’elles soient accueillies comme il convient à leur dignité, il doit prendre garde que le vêtement qu’il aura à leur donner ne les expose à quelque injure. Or Descartes n’avait point pourvu à cela, ne prétendant nous léguer que le nécessaire. Il nous restait

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à recevoir, de Bobillier (■*'), le superflu : une langue faile d’un tissu admirable, et dont l’ampleur convenait merveilleusement à l’essor que venaient de prendre nos conceptions géométriques J**).

Dans quelques pages, où l’on ira longtemps chercher le secret de cette lumière sobre qui fait toute l’élégance de l’Analyse, ce très-riche et très-obscur Géomètre nous montra l’utilité de ses nouvelles coordonnées : et que le calcul reçoit de cette manière surabondante de représenter un point mobile par ses distances à un nombre quelconque de droites ou de plans fixes, une facilité d’évolution, une clarté, nue symétrie que l’on ne soupçonnait pas — pardessus tout, un ressort invincible qui, retenant unies les choses qui doivent l’être, et séparant les autres, prévient, dès l’origine, ces dispersions infinies où mène presque fatalement l’Analyse ordinaire.

Dans celle-ci, en effet, les premiers éléments de chaque question, loin de se conserver jusqu’à la fin, de manière à laisser apercevoir les vrais rapports des choses qui sont données à celles que l’on cherche, se brisent les uns par les autres dès l’origine; se mêlent ensuite et s’agrègent au hasard pour former des éléments nouveaux, souvent étrangers à la question, et qui figureront seuls dans le résultat. Les problèmes numériques, sur quoi les écoliers passent de l’Arithmétique à l’Algèbre, présentent des difficultés toutes pareilles. Même avant Descartes, les écoliers eu triomphaient par le seul secours des premières notations de l’Algèbre. Mais les Géomètres, qui leur avaient appris cela, rencontrant en un autre point de leur propre chemin les mêmes difficultés, mirent deux siècles à apercevoir qu’ils les pouvaient tourner de même; et sous la seule condition d’imiter leurs moindres disciples. C’est ce qui

(*) Annales de Gergonne , t. XVIII, p. 32/j; 1827.

( **) Traité des Propriétés projectives ; 1822.

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n’échappa pas à notre Auteur. Et l’on peut dire que toute cette force que l'Arithmétique reçoit de l’Algèbre, l’Analyse cartésienne la reçut aussi de Bobillier. Sans doute, toutes les formes concises qu’il nous apprit à interroger ne sont pas toujours la lumière même : il suffit qu’elles la renferment sous le moindre volume. Et s’il nous reste ensuite à faire violence à leur concision, pour tirer de leurs rélicences toutes les clartés qu’il nous faut; cela exige, d’ordinaire, moins d’efforts que de réflexion : et l’habitude d'étudier les choses telles qu’elles se présentent à nous, de manière à déduire d’abord, de leurs caractèi'es extérieurs les plus apparents, les notions, souventdécisives,qui y sont contenues et que nous demandons trop souvent à des transformations arbitraires; ou à des réductions que le calcul nous refuse dès que les données du problème viennent à se compliquer. C’est ainsi qu’ayant reconnu, dans le plan X = o défini par l'identité

le lieu des centres des surfaces du second ordre inscrites à l'heptaèdre P,PS . . . P7 = o, nous pourrons ensuite déduire la construction du plan des centres X de la seule interprétation de l’identité qui lui sert de définition.

Toute française, comme son aînée, il ne paraît pas que la belle conception de Bobillier ait été aucunement remarquée en France. Elle apportait à la création de Descaries son complément et sa perfection; mais il est de l’essence des choses de se compléter d’elles-mèmes, un jour ou l’autre; et la perfection est peut-être ce que l’on remarque le moins, en de certaines hauteurs, parce que tout, de soi, y est parfait. De ce côlé-là donc, on ne vil rien, on ne dit rien, on demeura neutre. Comme on n’apercevait pas la portée du perfectionnement que venait de recevoir l’Analyse, on négligea de s’en faire honneur; et Bobillier n’eut

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à subir aucun (les procédés d’élimination à l’aide desquels les honnêtes gens de tous les temps et de tous les pays se substituent à un inventeur, quand ils ne préfèrent le supprimer; procédés, du reste, fort amplifiés depuis, et qui composent maintenant un corps de doctrine très-respectablo, comme nous nous proposons de le faire voir quelque jour. Directeur de l’Ecole des Arts et Métiers de Chàlons, notre Géomètre conserva la place qui lui donnait à vivre. S’il n’eut pas la consolation de voir grandir beaucoup l’arbre qu’il avait planté, on lui permit du moins d’en cueillir lui-même les premiers fruits; et l’on n’appela point les Prussiens ou les Russes à réprimer ce désordre. C’était en 1827, il est vrai; en pleine Restauration : c’est tout dire. Les choses, aujourd’hui, 11e se passeraient plus de la sorte. La centralisation dut ajouter son aiguillon à tous ces encouragements. Notre discipline fit le reste, associée à cette noble habitude, qui est la nôtre, de multiplier d’abord la valeur de toute-idée nouvelle par un coefficient qui croit en raison de la hauteur apparente d’où elle descend, pour se réduire à rien, s’il s’agit de l'idée d’un homme de peu. Le plus spontané de nos philosophes positivistes négligea celleci, spontanément et positivement. Pour la faire oublier tout à fait, quantité de belles choses vinrent ensuite : oiseuses pour la plupart, les autres ineptes; toutes indispensables pour l’admission à nos grandes Ecoles. La Règle à calcul , elle-même, n’eut qu’à se montrer : les rigidités de notre régime scientifique n’v purent tenir ; et, toutes nos inerties s’ébranlant à la fois, nous nous vîntes tout à coup en pleine révolution. Des Académiciens, des Astronomes, rassemblés en une de ces Commissions que l'Europe nous envie, et qui naissent périodiquement en France, on ne sait de quoi, pour n’importe quelle besogne, jetaient bas les vieux Programmes; excluant le parfait, retenant le médiocre et, pour prévenir nos regrets, s’instaurant euxmêmes entre ces ruines, avec tout le personnel de leurs

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formules et tout le cortège de leurs idées. Celle de Bobillier, naturellement, ne fut pas invitée à se produire. Incapable de faire tourner une roue, ou de graisser seulement une manivelle, on la relégua entre ces inutilités ruineuses dont on avait pour mission de délivrer le monde. Par bonheur le monde est bien grand pour être délivré de la sorte en quelques séances. Et, comme on n’en a point proclamé encore l’unité ni l’indivisibilité ■ — lesquelles pourtant nous crèvent les yeux — un homme que l’on tue ici, par Commission, et selon toutes les règles, peut encore aller gagner sa vie aux antipodes. Condamné solennellement une première fois, en appel ensuite, puis en dernier ressort par toutes les classes de l'Institut, Fulton fut absous par l’Amérique. L’Allemagne et l’Angleterre ont absous de même Bobillier. Mais beaucoup de choses, qui seraient nôtres, leur appartiennentmaintenant, qu’elles ont tirées de ces quelques pages lumineuses des Annales de Gergonne. Pour notre compte, nous avions dû feuilleter cela dans le temps, vers 1848, sur les bancs du collège. Professeur aujourd’hui, c’est-à-dire obligé moralement à nous retrancher toute lecture, et entièrement incapable d’aucune lointaine excursion à travers les livres, il a fallu l’initiative d’un libraire pour nous amener à ces maîtres étrangers que nous 11e connaissions pas : Plucker, Hesse, Salmon; de ceux-là à Bobillier en qui ils prennent leur source, et de Bobillier à cet Ouvrage.

Il nous resterait à en indiquer l’objet général, le plan, les divisions; ce qui y est, ou emprunté d’autrui, ou entièrement nouveau; mais c’est à quoi nous croyons avoir pourvu, soit dans notre Table des matières, soit dans le cours même de cet Ouvrage. Il nous suffira de dire que nous nous y sommes proposé principalement l’étude des propriétés générales et la construction des courbes et des surlaces du second ordre — les propriétés directives de six points d’une conique, de dix points d’un ellipsoïde, de neuf

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points d’une courbe gauche du quatrième ordre, de huit d’une cubique gauche; la construction de ces courbes par points, la détermination de leurs tangentes, celle de leurs cercles osculateurs — la recherche des éléments principaux du cylindre parabolique ou du paraboloïde de révolution circonscrits à un octaèdre quelconque ; du cône droit circonscrit à un octaèdre sphérique, du cylindre et de l’ellipsoïde de révolution circonscrits à l’hexaèdre, du paraboloïde défini par huit couples de plans conjugués, etc. — constructions ou propriétés entièrement nouvelles, qui résultent à peu près sans calcul, et en quelque sorte à priori, des deux principes nouveaux que nous avons pris pour guides : et que l’on peut rattacher au théorème de Desargues. On voit donc, abstraction faite de la méthode, que notre objet diffère peu de celui que s’était proposé déjà l'Auteur de la Géométrie supérieure et de la Théorie îles Sections coniques ; mais que, si l’on s’est borné dans ces deux Ouvrages, à ce que M. Terquem appelait le rez de chaussée de la Géométrie, nous avons essayé d’en édifier le premier étage, qui serait la théorie des surfaces du second ordre. Quant aux dernières conséquences que les deux principes qui nous ont servi de point de départ semblent comporter, et qui se rattacheraient au théorème de Pascal; nous avouons qu’elles nous échappent tout à fait : et ceux de nos lecteurs qui connaissent les servitudes de l’enseignement libre pourront admettre, depuis bientôt quatre ans que cet Ouvrage est sur le métier, que le temps nous ait manqué, tout au moins, pour en entreprendre la recherche. Mais ce que nous avons fait nous-même pour le théorème de Desargues, un autre le fera sans doute pour celui de Pascal. Et quoique cette seconde recherche paraisse infiniment plus difficile, par cela même qu’elle est à faire, nous ne la croyons pas au-dessus des forces de tel de nos jeunes Géomètres que des débuts exceptionnels désignent si bien pour des entreprises de cet ordre. Dans tous les cas, l’extension, à dix

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éléments d’une surface du second ordre, de l’une des propriétés générales de six éléments d’une conique, est maintenant un fait accompli ; et cette analogie dont Desargues avait scellé le premier anneau, il J a deux siècles, est aujourd’hui dans son intégrité.

Poinsot avait déjà remarqué que « la plupart des idées différentes, en Géométrie comme en Algèbre, ne sont que des transformations : les plus fécondes étant celles que l’esprit combine avec le plus de facilité dans le discours et dans le calcul. » Les deux principes nouveaux, sur lesquels repose notre théorie des courbes et des surfaces du second ordre, ne sont aussi que des transformations de l’équation ordinaire de ces courbes ou de ces surfaces •, et leur fécondité parait effectivement liée à la facilité avec laquelle on peut les énoncer ou les écrire. L’équation à dix termes qui caractérise isolément chacun des points d’une surface du second ordre, par exemple, entraîne, en effet, l’existence d’une relation linéaire et homogène entre les carrés des distances de dix points d’une telle surface à un plan quelconque :

Et cette proposition, qui subsiste dans les mêmes termes pour neuf points d’unecourbegauchedu quatrième ordre et poursix points d’une conique, contient, comme on le verra, toute la théorie de ces courbes et de ces surfaces ; ainsi que la plupart des constructions qui s’y rattachent.

Enfin nous croyons aussi avoir apporté à la théorie des polyèdres, considérés au point de vue de leurs propriétés géométriques, quelques accroissements qui ne parailronl pas sans intérêt si l’on observe le peu que l’on sait sur cette matière, et les difficultés qu’y rencontre le calcul. Lagrange aimait à répéter que « le véritable secret de l’Analyse consiste dans l’art de saisir les divers degrés d'indétermination dont la quantité est susceptible : » maxime assez obscure,

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comme le secret qu’elle nous voudrait apprendre; et dont Carnot se borne, en nous la rapportant, à admirer la profonde justesse : sans nous l’éclaircir d'aucun exemple. Le suivant que nous proposons, et qui est tiré de notre étude sur l'hexaèdre, y pourrait peut-être convenir. Que l’on imagine un système de six plans indéfinis

et l’hexaèdre complet qu’ils déterminent. Si l’on pose l’équation

on pourra remarquer que le nombre des paramètres indéterminés qu’elle renferme permet de lui faire représenter un esphère et une seule : et cette remarque nous met aussitôt en possession d’une analogie, jusqu’ici ignorée, entre le quadrilatère et l’hexaèdre. Toutes les surfaces contenues dans l’équation (i) divisant, en effet, harmoniquement chacune des diagonales de l’hexaèdre P,.. .P« ; la sphère unique et déterminée qui fait partie de ces surfaces possède la même propriété. Et l’on en conclut sur-le-champ que les dix sphères décrites sur les diagonales d’un hexaèdre complet, comme diamètres , admettent un même centre radical et sont orthogonales à une même sphère : laquelle n’est autre que la sphère (t). Si nous ne nous trompons, on trouvera dans cet Ouvrage plusieurs autres exemples du même ordre. El tout cela peut servir un jour à fonder celte véritable Analyse qui n’est ni l’entassement, ni la profondeur, ni la puissance, mais qui sera le discernement, l’ordre, la lumière : Analyse vraiment parfaite, que Bobillier entrevit, et que nous connaîtrons un jour, mais dont nous nous consolons, pour le moment, à force de calculs — à peu près comme nos architectes se consolent du Parlhénon, à force de casernes.

Janvier 186g.

/■ jT

Somuaiiie. — Des coordonnées suffisante*, ou coordonnées cartésiennes; et des coordonnées surabondantes introduites par Bobillier. — Coordonnées polygonales ou polyédriques d’un point mobile rapporté à un nombre quelconque de droites ou de plans fixes; équations de la tangente et du plan tangent (Plucker). — Des coordonnées tangeritielles d’une droite ou d’un plan mobile rapportées à un nombre quelconque de points fixes; équation du point de contact d’une droite ou d’un plan mobile et de leur enveloppe. — Formes diverses de l’équation d’une courbe ou d’une surface du second ordre.

§ I. — Des coordonnées triangulaires ou polygonales d'un point mobile rapporté à un nombre quelconque de droites fixes . Équation de la ligne droite.

1 . La représentation analytique d'une figure plane suppose, comme l’on sait, le tracé -préalable de deux axes rectilignes ox , oy qui marquent, en quelque sorte, les deux dimeosions de la figure que l’on veut construire, et dont un point quelconque est ensuite défini, relativement a ces axes, par les valeurs algébriques de ses deux coordonnées x, y, si ce point est fixe et isolé; ou, s’il est mobile et assujetti à parcourir une certaine courbe, par une certaine relation

à laquelle doivent satisfaire les coordonnées de ce point considéré dans l’une quelconque de scs positions.

Tel est le principe, imaginé par Descartes, de la méthode des coordonnées que l’on pourrait appeler suffisantes, que Parent, Clairaut, Maclaurin, Euler étendirent ensuite aux figures à trois dimensions, mais en lui conservant son caractère initial et rejetant toujours, de la définition fondamentale du point, toute donnée qui ne serait pas indispensable pour eu assurer la position. Or ce sont justement ces données surabondantes que Bobillier aperçut que l’on peut retenir, parfois avec infiniment d’utilité, en acceptant cohime coordonnées de chacun des points d’une figure les distances de ce point .à un nombre quelconque de droites ou de plans fixes. Et ce fut- de cette heureuse exagération de l’idée première de Descartes que celle-ci reçut son couronnement et sa perfection.

11 11e paraît pas d’ailleurs que le rôle des coordonnées cartésiennes proprement dites puisse en être beaucoup amoindri ; car de tous les progrès que leur doit la science de l’éteudue, il n’en est peut-être aucun que l’on eût pu attendre des coordonnées nouvelles. Telle est effectivement l’alternative presque constante de leurs rôles, que partout où l’une des deux méthodes est en défaut, l’autre réussit. Et ce nous serait un avis, si nous savions l’entendre, de n’essayer pas de les plier toutes deux aux mêmes usages, mais de consulter quelquefois leurs affinités ou leurs répulsions, et, quand l’uuc ou l’autre s'est refusée quelque temps à nous aider, de n’insister pas davantage, parce que nous n’en retirerions vraisemblablement qu’un médiocre secours. Tel serait d’ailleurs le partage naturel de la géométrie entre les deux systèmes, que tout ce qui concerne les propriétés numériques de l’étendue relève plus directement du premier; le second retenant d'ordinaire tout ce qui concerne les propriétés descriptives.