Si une figure de géométrie se trouve tellement con

PRÉLIMINAIRES

struile autour d’un polygone donné, que celui-ci en marque en quelque sorte le noyau et serve de support à tout le reste, il peut devenir avantageux de rapporter à ce polygone toutes les autres parties, ou tous les autres points I, 2,... de la figure, parles distances A,, B,, C,, . . . , A,, B,. C3,... de chacun de ces points aux divers côtés A.B.C... = o de ce polygone. Celui-ci est dit alors de référence , et les distances à ses côtés des divers points de la figure sont dites les coordonnées de ces points.

Ces distances, d’ailleurs, ou ces coordonnées, auront dans chaque cas des signes déterminés; de telle sorte, par exemple, que toutes négatives pour un point m situé dans l'intérieur du polygone de référence, chacune d’elles passe isolément par zéro et change ensuite de signe, lorsque le point considéré atteint dans sou mouvement le côté correspondant du polygone et le dépasse. On peut remarquer que ces changements de signe, qui ont lieu par définition dans le cas où rien n’est explicité, doivent être démontres lorsque l’on regarde les équations implicites

o = A = C = . . . ou A . B . C . . . = o

des côtés du polygone de référence comme tenant la place d’autant d’équations linéaires mises sous la forme explicite usuelle

o = nx -t- by -4- c = a'.r q- b' y -t- c' = . . .

Dans ce cas, les coordonnées polygonales d’un point A,. B, , C,, . . . ne sont autres que les nombres

i7.r, -t- by, -t- c, a'x, -+- b' y, -4- c', . . . ,

résultant de la substitution des coordonnées cartésiennes de ce point dans les fonctions A, B, . . . relatives aux divers côtés du polygone de référence; et leurs signes varient avec la position du point, conformément à ce théorème :

Les coordonnées de deux points distincts 1 , 2, sulsti-

tuées dans la fonction d' une droite.

A = o ou ax + by -t- c = o,

lui font acquérir des valeurs

ax | H- />)', -t- c, b y , H- c

même signe ou de signes contraires , suivant que ces points sont situés d'un même côté ou de part et d'autre de celte droite.

Imaginant, en effet, que le segment rectiligne 12 soit parcouru par un mobile m (fg. i) qui parte du premier

Fig. i.

de ces points et qui s'arrête au second ; substituons à chaque instant les coordonnées x, y du point mobile dans la fonction de la droite. Celte fonction variera d’une manière continue, depuis la valeur ax, -+- by,-f- c qui convient au premier point i , jusqu’à celle axt -t- fyt-r- c qui convient au second, et ne pourra changer de signe dans l’intervalle qu’en passant par zéro ou par l'infini. Mais tout passage par l’infini se trouvant exclu par la nature de la fonction, qui est entière, celle-ci ne pourra changer de signe qu’en passant par zéro. Si donc le segment I 2 ne coupe pas la droite considérée, le nombre ax -+- by c ne peut devenir nul et passe de l’une à l’autre de ses valeurs extrêmes en conservant le même signe : c’est le cas où les points considérés sont d’un même côté de la droite. Si, au contraire, le segment l'2' rencontre la droite en un certain point, le nombre ax -+- by -f- c devient nul en ce point, y change de signe; et ses valeurs extrêmes sont de signes contraires.

Remarque. — Nous avons admis que le nombre ax+ by 4- c, devenant nul en un certain point, y change de signe, de manière que positif, par exemple, en delà, en deçà il devienne négatif. Cela résulte de ce que, le point mobile parcourant une droite déterminée, ses deux coordonnées sont liées par une relation de la forme y = mx-y-n, en vertu de laquelle l’expression ax 4- by-j-c se réduit à une simple fonction de x, telle que «x4-p. Or, x variant toujours dans le même sens, il est bien clair maintenantque la fonction ax 4-/3 change de signe en passant par zéro.

3. Si les équations o = A = B = C = ... des côtés du polygone de référence sont de la forme

x cos a 4- y sin « — p = o, xcosjî +jr sinp — q — o,. . . ,

et que les axes secondaires ox, oy soient d’ailleurs perpendiculaires entre eux, les coordonnées polygonales A,, 11,, C,, . . . d’un point quelconque mesurent les distances orthogonales de ce point aux différents côtés du polygone : distances positives pour un point situé dans la région opposée à l’origine o par rapport à chacun de ces côtés, négatives pour un point situé dans la même région que l’origine, dont les coordonnées o = x — y font acquérir aux différentes fonctions A, B,..., les valeurs négatives — p , — <7, . . .

4. Les coordonnées polygonales d’un point 11e sont pas indépendantes les unes des autres; mais, aussitôt que deux d’entre elles sont données, toutes les autres en résultent. Ainsi les coordonnées triangulaires (et orthogonales) A,, B,, C, d’un point quelconque in sont liées par la relation identique

(r) — a A, — èB, — «.-C|=2S,

dans laquelle a, b, c et S désignent les longueurs des côtés et l’aire du triangle de référence; et qui n’est que la tra-

» duction de l’identité

(r' triangle m BC +- tri. m CA -4- tri./» AB = tri. ABC que l’on peut lire sur la figure.

On peut remarquer que les relations (r) ou (r') conservent la même forme pour toutes les positions du point considéré. Si l’on passe, en elfet, du point m (fig. 2) au

Fig. a.

rt>

point m', par exemple, le terme — a A,, positif d’abord, devient négatif [formule (/•)] ; mais, en même temps, le triangle m BC, qui comptait, dans la formule (r'), parmi les éléments additifs de l’aire totale ABC, est remplacé par l'élément soustractif m'BC.

L’expression

1 1 A -t- b B + cC

n’est done qu’une fonction apparente des deux variables x, y, et l’équation

/iA4-èB + cC = o

se réduit en réalité à une constante égalée à zéro : aS =0.

5. Toute équation du premier degré, par rapport aux coordonnées triangulaires ou polygonales d’un point, est aussi du premier degré par rapport aux coordonnées x , y du point mobile, et représente dès lors une droite.

Réciproquement, toute droite située dans le plan de la figure peut être représentée par une équation homogène et du premier degré en A, B, C, telle que (1) ///A -f- »B -l-y/C = o.

PRÉLIMINAIRES

Car si l’on désigne par A', B', C'; A", B", C" les coordonnées triangulaires de deux points de la droite donnée, et que l’ou détermine les coefficients iw, «, p à l’aide des relations

m A' ■+■ n B' 4- p G' = o , ni A"-t- n B"-t- p C"= o ;

l’équation (i), où l’on remplacera m, n, p par les valeurs résultantes, représentera une droite ayant deux points communs avec la droite donnée, ou la droite donnée ellemême. Les rapports m'.n'.p sont d’ailleurs définis par celte double proportion

Si le nombre des côtés du polygone de référence est supérieur à trois, une droite quelconque peut être représentée d’une infinité de manières par une équation de la forme

aA-t- pB-t-yC-t-ÆD^o.

Remarque 1 . — La forme générale (i) mA+/îB+/iC=o

de l’équation d’une droite quelconque D résulterait encore de l’identité

— a' A — — c'C — r/DsaQ,

à laquelle donnent lieu les distances orthogonales A, B, C,

Fig. 3.

D d’un point quelconque m {Jig. 3) aux côtés du triangle

de référence ei à cetle droite; identité dans laquelle ci', b, c', d et Q désignent les longueurs des côtés et la surface du quadrilatère intercepté, dans le triangle de référence, par la droite considérée. Si, en effet, le point m, au lien d’être quelconque, est pris sur celle droite , l’identité précédente devient

Mais les coordonnées A, B, C du point m satisfaisant déjà à cette autre identité

— «B — à B — rC = a S,

elles satisferont aussi à l’équation qui résulte de l'élimination des constantes Q et S entre les deux précédentes, équation de la forme

ni A + /; B -t- pC = o.

Remarque II. — Si la droite considérée D = o passe par l’un des sommets A, B du triangle de référence; les équations équivalentes

D = o , ou mA + «B = o, donnent naissance à l’identité

m A + « B + dD = o.

1 1 existe donc une relation linéaire et homogène entre les distances A, B, I) d'un point quelconque à trois droites concourantes.

(3. Si, dans l’équation d’une droite mobile

on suppose, le coefficient c demeurant invariable, que les coefficients a cl b tendent simultanément vers zéro, l’abscisse et l’ordonnée à l’origine de cette droite augmentent indéfiniment; et, si l’on passe à la limite, celte droite disparaît tout entière à l’infini, en même temps que son ■ équation se réduit à une constante égalée à zéro : c = o.

Une telle équation

constitue iionc, en quelque sorte, la trace analytique de toute droite mobile qui s’est éloignée indéfiniment : ou de la droite a Vinjini du plan de la figure.

7. Si une certaine combinaison des équations de deux droites se réduit à une constante égalée à zéro, ces droites, en réalité, sont parallèles. Nous pourrons dire qu’elles se coupent en un point de la droite il Vinjini représentée par cette constante égalée à zéro. Et ce sera, dès lors, exprimer le parallélisme de deux droites, que d’exprimer qu'une certaine combinaison de leurs équations se réduit à l’équation c = o de la droite à l’infini.

Il résulte de l’identité (r) du n° 4, que la droite à l'infini est représentée en coordonnées triangulaires orthogonales par l’équation

(t) « A 4- b B -4- cC = o,

ou par celle-ci, qui lui est équivalente,

(t') Asin A -4- BsinB + CsinC = o.

Les droites suivantes

(a) c/, A H- bx B 4- e,C = o,

(3) 'rt,A -t- èjB 4- c,C = o

seront donc parallèles entre elles, si l’une des combinaisons de leurs équations se réduit à l'équation (i); ou si les trois équations (t), (a), (3) admettent en A, B, C une solution commune : ce qui aura lieu si l’on a

a (è,Cj — r, b,) -+ b (c, n, — a,e,) -t- c [a, b , — b, a,) = o.

Telle est la condition nécessaire et suffisante pour le parallélisme des droites (a) et (3).