XY4-X'Y'==AA

on en déduit encore que les polaires du foyer/-, par rapport

aux deux angles droits AA1'1 et se confondent : ou que

la polaire de ce point, par rapport au seul angle droit AA!1', passe par le second foyer /'. Le segment ff est donc divisé harmoniquement par les droites A, A!", et l’on peut se procurer successivement un point de la droite A!" , cette droite elle-même et sa trace sur la ligne donnée A! : ou le pôle cherché. On retrouve en même temps ce théorème connu: « Les pôles d’une droite fixe, par rapport à une série de coniques liomofocales, appartiennent à une seconde droite perpendiculaire à la proposée et passant par le pôle de celle-ci par rapport au système des deux foyers. »

Remarque II. — Connaissant trois couples de droites conjuguées P, P', , . . . , Ps P, et l'un des foyers f d’une conique , le centre de la courbe est au point de concours de trois droites que l’on sait construire et que l’on peut aussi définir en langage ordinaire. L’une de ces droites D = o est définie, en effet, par l’une ou l’autre de ces identités

(i') l.P/.+hP.P’.sXY+D,

FOYEHS ET TAXGEHTES. THÉORÈMES. 'iO l

Or la droite D définie par l’identité (i) est l’axe radical d’une série de cercles que nous savons construire (n° 152, p. iSy); et la droite identique définie par l’identité (1') réunit les traces de l’hyperbole équilalère circonscrite au quadrilatère P, P, P', P, sur deux parallèles à ses asymptotes , issues du foyer donné. Les rayons conjugués orthogonaux d’un faisceau en involution décrit autour du foyer /'fourniraient d’ailleurs les directions X, Y ; et en mettant l’identité (P) sous cette forme

L P, P", 4- h Pi P1, — XY = D,

on apercevrait ensuite trois points distincts de la droite D, savoir : le point-milieu du segment qui aurait pour extrémités le foyer/”, XYT = o, et le point de concours des polaires de ce foyer par rapport aux angles iCp'7, ÏVP7; le point-milieu. ... (n° 151, p. 157).

191. Les propriétés directives qui naissent de la considération des deux foyers d’une conique et de deux de ses tangentes o =T = T/, résulteraient de même de l’identité

Les deux foyers et le point de concours des tangentes T, T' sont encore les pieds des trois hauteurs d’nn triangle dont le troisième côté et la troisième hauteur 11e sont autres que les bissectrices ©, 0' de l’angle des deux tangentes considérées.

Mais l’on peut dire aussi que les foyers sont conjugués par rapport au système de ces bissectrices : ce qui entraîne la symétrie, par rapport à l’une quelconque de ces droites, des rayons menés de leur point de concours aux deux foyers.

192. Si l’on considère enfin deux tangentes T.T' = o, leur corde de contact C = o et l’un des foyers de la courbe :

les quatre couples de droites conjuguées T*, T'1. CT, CT7 et les deux couples rectangulaires X, Y,, Xf Y,, issues du foyer, entraîneront encore l’identité

«T + m'T"4- CT 4 CT' = X1 Y, + X1Y,=\Ï.

Les équations équivalentes

(»')■ XY = o

représentent donc une seule et même courbe : un système de deux droites rectangulaires issues du foyer et dont les traces sur la corde C = osont harmoniquement conjuguées aux extrémités C.T, C.T' de cette corde: ainsi que cela résulte de l’hypothèse C = o introduite dansl’équation (i). Les deux droites dont il s’agit coïncident donc avec les bissectrices de l’angle sous lequel la corde considérée est vue du foyer f ; et il résulte encore, de l’équation (î), que l’une de ces droites ou de ces bissectrices passe par le point TT' ou par le pôle de cette corde.

193. On vient de voir combien les propriétés directives, auxquelles donnent lieu les foyers et les tangentes d’une conique, découlent aisément de celui de nos deux théorèmes généraux qui concerne six couples de droites conjuguées à une telle courbe. Et bien que ces propriétés soient des plus simples et des mieux connues, comme l’analyse par laquelle nous les avons établies paraît réellement analytique, c’est-à-dire aussi propre à l’invention même qu’à la démonstration; nous allons examiner si une analyse semblable ne nous permettrait pas de découvrir quelquesunes des propriétés directives qui doivent exister entre les foyers et les plans tangents d’une surface du second ordre.

On sait que toute surface du second oidre admet une intinité de foyers distribués sur les trois coniques focales

DES FOVERS DE l'eLLIPSOÏDE. DÉFINITIONS. 2o3

de la surface et servant de sommets à autant de cônes de révolution circonscrits à cette dernière : de telle sorte que la seule donnée d’un foyer o équivaut à deux conditions; à quatre , la donnée double d’un foyer o et de l’axe oz du cône droit circonscrit qui lui correspond; à trois seulement, la donnée de l’axe indéfini oz, lorsque le foyer correspondant demeure indéterminé.

La surface que l’on considère, rapportée successivement à une série de tétraèdres conjugués ayant en commun le sommet o et la face opposée T = o, donne lieu, en effet, aux équations équivalentes

(i) «X’+iï' + f Z= =T%

{ i'J fl'X'2-+- b'Y'* + c' Z'1 = V,

et celles-ci entraînent les identités

aX’+ èY’-t- cZ’=a'X'3H- è’Y'3-f-e'Z'3=. ... ou l’identité des diverses surfaces

(2) « X’H-i Y!+cZ!=i,

De lace théorème : « Les plans des faces de tous les trièdres conjugués à un ellipsoïde fixe (1) ,et décrits autour d’un même sommet o, sont dirigés trois à trois suivant les plans diamétraux conjugués d’un second ellipsoïde (2) qui devient de révolution autour d’un certain axe oz, si deux de ces trièdres conjugués, ayant une arête commune oz, deviennent tri-rcclangles ». L’origine considérée o est alors l’un des foy ers de la surface primitive (1), et l’axe correspondant représente simultanément l’axe du cône droit circonscrit

(3) « X3 è Y3 -+- cZ3 = o, ou X3 + Y3+eZ3=o,

et la commune arête de deux dièdres droits conjugués à la

CHAPITIIE VI.

surface. On pourra donc encore substituer, aux quatre conditions qui résultent de la donnée d'un foyer o d'un ellipsoïde et de l'axe qui lui correspond, la donnée équivalente de quatre couples de plans rectangulaires, conjugués à la surface, savoir :

(F) iXZ, YZ, XY et X,Y,;

les trois premières couples résultant d' un trièdre trirec- (angle XYZ conduit à volonté par l'axe donné oz; la quatrième, d'un dièdre droit X,Y, mené arbitrairement par le même axe.

194. Considérons, par exemple, une série d’ellipsoïdes inscrits à l’hexaèdre P, . . . P„, et ayant un foyer commun o. Si oz désigne, pour l’une de ces surfaces, l’axe correspondant à ce foyer, les six plans tangents P,,. . . , P6 et les quatre couples de plans conjugués rectangulaires (F) entraîneront, en même temps que l’identité

XY + X, Y, + ZX -t- ZY P? = o,

l’identité des deux surfaces

(i) XY + X, Y, -4- Z (X -4- Y) = o,

ou ce théorème : Étant donnés six plans tangents et l'un des foyers o d'une surface du second ordre , l'axe correspondant à ce foyer est l'une des génératrices d'un cône circonscriptible (*) décrit autour du point o comme som-

(”) Le cône

ax* a' y% -j- a" z* -f- a byz 2 b' zx -+- 2 b" xy = o est circonscriptible à une infinité de triedres tri rectangles lorsque la condition o -l- a! — o!' — o

est remplie : et cette condition résulte, pour le cône (1), de l'orthogonalité des plans X, Y, Z et X,, Y,.