T», CT, C'T ; T'*, CT', C'T

et les quatre couples rectangulaires (F) provenant du foyer et de l’axe donnés cnlraineut encore l’identité des deux surfaces

(i) XY -t-XiY, + Z(X-t-Y)=o

et

/ T (T -4- cC 4- c'C') -t- T' (T -t- y C + 7'C') = o

Or la première ne peut être qu’un cône circonscriptible ayant son sommet au foyer donné (X. Y.Z.Xi .Y, = o) et l’une de ses génératrices dans l’axe correspondant oz (X. Y.X, Y, = o) ; ou l’unique variété que comporte une telle surface, c’est-à-dire un système de deux plans orthogonaux, dont l'un passe par l'axe- oz, et, la commune intersection, par le foyer donné o. Quant à l’autre surface (i'), elle apparaît d’abord comme un hyperboloïde à une nappe passant par les côtés du quadrilatère gauche

et, en particulier, par la commune intersection TT' des plans tangents donnés. Mais son identité avec la précédente exige premièrement la réduction de ce quadrilatère en un point unique par la collinéation des quatre plans T, T ' , 0, 0'; ou la réduction parallèle de l’hyperboloïde en un cône dont le sommet serait en quelque point co de la droite TT', et qui passerait par chacune des arêtes de l’angle solide tétraèdre TT'00'. Mais déjà le sommet du cône identique (1) est le foyer donné o, lequel n’appartient pas à la droite TT'. Passant dès lors par la droite oz et par la droite TT' ; ayant son sommet en o sur la première droite et en w sur la seconde, le cône (i) ou (i') se réduit à un système de deux plans orthogonaux R, R': le premier mené par oz, le second par TT', et dont la commune intersection passe par le point o et s’appuie sur la droite TT'. Le plan mené par cette dernière droite et le point o représente donc l’un des deux plans cherchés R; le plan R' mené par la droite oz, perpendiculairement à celui-là, représente l’autre. D’ailleurs R et R' 11e sont autres que les plans des angles diagonaux

TV, W et T' 0, é'T

de 1 angle solide TT'00' dont ils doivent contenir les quatre arêtes. Les plans R, R' divisent donc harmoniquement le troisième angle diagonal du solide,

ïë T7?,

ainsi que toute droite cc' inscrite dans cet angle. Or tel est le cas de la corde qui réunit les points de contact. c, c' des plans tangents donnés; et l’on a ce théorème, dont l’analogie avec l’une des propriétés focales des courbes du second ordre est évidente : La corde de contact cc' de deux plans tangents à une surface du second ordre est divisée harmoniquement par un système de deux plans rectangulaires conduits : le premier par l'intersection des plans tangents