FOYERS ET PLANS TANGENTS. THÉORÈMES. 20J

considérés et l'un quelconque des foyers de la surface; le second , par l’axe correspondant à ce foyer ou la tangente à la conique focale qui le contient.

Corollaire. — Une série de surfaces du second ordre ayant en commun un foyer et l’axe qui lui correspond, inscrites, en outre, à un dièdre fixe et touchant l’une de ses faces suivant un pointdonné (huit conditions), touchent l'autre suivant les points d’une droite déterminée que l’on peut construire.

196. Deux plans tangents T, T', deux foyers o, o ’ et les axes oz, o' z' qui leur correspondent donneraient de même naissance à dix couples de plans conjugués par rapport à la surface, ou à l’identité

| [X Y -t-X.Y, +Z (X +Y)J ^ | -4- [X' Y' -f- X',Y',-+- Z'(X'-l- Y')] = «iTJ-t- /n'T'’,

que l’on pourrait écrire

en désignant par S, S' les fonctions relatives à deux cônes circonscriptibles ayant pour sommets respectifs les foyers o, o' ; par 0,0' les plans bissecteurs du dièdre TT'. Mais, comme le plan polaire du sommet d’un cône, par rapport à ce cône lui-même, est indéterminé, les plans polaires du foyer o, par rapport au dièdre 00' et au cône S’, se confondraient en un seul ; et deux quelconques des foyers o, o' d’une surface du second ordre seraient harmoniquement conjugués par rapport aux plans bissecteurs d’un dièdre quelconque TT' circonscrit à la surface : résultat évidemment contradictoire avec l’existence d’un nombre déterminé de courbes, lieux géométriques de tous les foyers de la surface. Et, comme les principes dont nous avons fait usage paraissent à l’abri de tout soupçon ; que, d’autre part, la présence, dans l’identité (i), de deux plans tangents quel-

conques T, T'amène nécessairement la contradiction que nous venons de remarquer, ces fonctions T, T' doivent disparaître de l’identité (1); les fonctions 0, 0', de l’identité (1') ; et l’on doit avoir

(2) S + S'so, ou S = S'

par la réduction accidentelle des huit couples de plans conjugués qui résultent des deux foyers et de leurs axes en huit couples associées, réductibles à sept couples conjuguées distinctes (n°169, p. 172). Or les cônes circonscriptiblcs S, S' ne peuvent devenir identiques, s’ils ne se réduisent à un système de deux plans orthogonaux déterminés, qui sont les deux plans menés par le premier foyer o et l’axe o' z' relatif au second, par le second foyer o' et l’axe os relatif au premier.

De là l’orthogonalité nécessaire, et qui se vérifie effectivement, des deux plans conduits suivant la corde qui réunit deux quelconques des foyers d’un ellipsoïde, cl chacune des deux tangentes menées par ces foyers aux coniques focales qui les contiennent. La difficulté précédente se trouve donc éclaircie, l’identité (2) vérifiée; et l’on voit que si les identités (1), (i'), où ne figurent réellement que sept couples distinctes de plans conjugués et d eux plans tangents T, T', ne peuvent exister quand il s’agit d’une seule et même surface du second ordre, elles existent cependant pour deux plans T, T' qui toucheraient à la fois deux surfaces distinctes ayant en commun deux foyers et les tangentes aux lignes focales qui les contiennent (n° 169, p. 172). On peut donc énoncer ce théorème : Si une développahle de la quatrième classe admet deux foyers o, o', ou si elle est circonscrite à deux surfaces du second ordre dont les coniques focales aient deux points communs o, o', et se louchent en chacun de ces points ; les plans F, F' menés par chacun de ces foyers et l'arête d'un dièdre quelconque TT' circonscrit à celte développable seront

GROUPE FpRMÉ DE DEUX TRIANGLES CONJUGUES. 20ÿ

également inclinés sur les faces de ce dièdre :

Fï = F T .

§ II. — Du triangle conjugué à une conique et du tétraèdre conjugué à une surface du second ordre.

197. Les points ou les tangentes d’une conique étant rapportés successivement aux côtés ou aux sommets de deux triangles distincts A.B.C = o, A'.B'.C,= o, tous deux conjugués à la courbe; les équations simultanées résultantes

(i) «A1 -4- L B1 4- cO = o,

(i') a' AI* +b‘ b'2+c'C,,= o ,

entraînent l’idcntitc

(I) «A’-t- bB3 + cC1 -t- a' A'1 H- b'B'3 ■+■ c'C'î = o,

et celle-ci (n° 129, p. i3a) ce théorème : Si deux triangles sont respectivement conjugués à une même conique , leurs sommets font six points et leurs côtés six tangentes d’une seconde et d’une troisième conique. La réciproque est rendue évidente par notre analyse. Et comme six points ou six tangentes d’une telle courbe donnent lieu à l’identité (I) ; que celle-ci se dédouble dans les équations équivalentes (i), (t') : on voit encore que si l’on sépare six points ou six tangentes d’une conique en deux groupes composés chacun de trois points ou de trois tangentes, les deux triangles résultants sont conjugués à une même conique ; leurs côtés faisant dès lors six tangentes, ou leurs sommets six points d’une troisième conique.

198. Les théorèmes précédents s’appliquant d’euxmèmes à la figure formée de deux trièdres inscrits , circonscrits ou conjugués à un, cône du second ordre; si l'on

compare les équations

ax 3 4- by’ 4- cz1 = i , a'x'7 + b' y'* 4- c'i ,J = i

d’un ellipsoïde rapporte successivement à deux de ses trièdres conjugués, l’identité résultante

ax 1 4- by7 4- cz1 — a'x 11 — i'yJ’ — c’z" = o

se traduira par ce théorème : Deux groupes de trois diamètres conjugués d'un ellipsoïde font toujours six génératrices, et deux groupes de trois plans diamétraux conjugués six plans tangents d’un même cône du second ordre (Stf.iner, Syst. Entwich., p. 3i3).

199. Une conique dont le centre est connu est entièrement définie par la donnée complémentaire d’un triangle inscrit, circonscrit ou conjugué. On peut donc se proposer dé déduire directement, de ces données, les axes principaux de la courbe en grandeur et en direction. De là trois problèmes que nous allons traiter successivement, mais en nous bornant à leur résolution numérique et réservant leur construction pour le dernier paragraphe de ce Chapitre. Notre analyse reposera d'ailleurs sur les lemmes suivants :

Lernme I. — Quels que soient les angles at, 011 a toujours cette identité

( 1 ) cos a , sin (a, — a3) -t-'cos a, si n (a, — a, ) cos a, sin (a, — a,) = o .

Lemme II. — Le carré de la distance du centre d’une conique à l’une quelconque de ses tangentes est égal à la somme des carrés des produits obtenus en multipliant chacun des demi-axes de la courbe par le cosinus de l’inclinai* son de cet axe sur la normale correspondante N (n°82, p. 68) :

(2) P’ = a’cos’ (N, a) 4- è’cos’ (N, b) = a’cos’a 4- i’sin’a.