TRIANGLE CIRCONSCRIT} ÉQUATION AUX AXKS
200. Problème I. — Former V équation aux carrés des axes principaux d'une conique , donnée décentré, et incrite à un triangle donné.
Soient, à cet effet, P,, Ps, P3 les distances données du centre de la courbe aux côtés i, 2, 3 du triangle circonscrit donné; oc,, a„ a3 les inclinaisons des normales à ces côtés sur l’axe 2 a de la courbe. Nous aurons, d’après le lemme II,
Pj = rt’cos’ai -f- è’sin2»,,
P’ = «’cos’a, -I- i’sin’a, ,
P’ = a’cos’a, -|- è’sin’a, ;
ou encore, et par une transformation évidente,
De là, en transportant ces valeurs dans l’identité
cos a, sin (a, — as) -4- cosa,sin (a3 — v.{) ■+ cosajsin (a, — a,)= o.
et remarquant d’ailleurs (Jig. 29) que les sinus des angles a, — «3, at — «4, a, — «s, et ceux des angles môme 1 , 2, H
Fig. 29.
du triangle considéré, sont égaux et de signes contraires: on pourra remplacer en même temps tous les premiers
sinus par les derniers, décrire
sin 1 y/PJ — è3 -f- sin 2 y'P!J — b% -f- sin 3 y/P3 — b‘ — o ou encore
(I) a, y^PJ — b‘ -+- o, ^P3 — b1 -+- a, ^9\ — b1 — o.
Telle est l’équation aux carrés des demi-axes ( b ) d'une ellipse inscrite à un triangle en fonction des côtésa^aj.as, de ce triangle et des distances P, , Ps, P3 du centre de la courbe à ces côtés.
201 . Étant donnés six plans tangents et le centre d’une surface du second ordre, comment obtenir l’équation aux carrés des demi-axes principaux de la surface?
Nous avons trouvé déjà, bien que d'une manière indirecte, le second terme de cette équation qui ferait, dans l’espace, l’analogue de la précédente (I), et qu’il serait fort intéressant d’obtenir tout entière : elle supposerait, toutefois, une élimination qui parait offrir de très-grandes difficultés. Sous un point de vue plus restreint, le théorème suivant, que nous nous contenterons d’énoncer, est aussi un analogue du théorème de Géométrie plane exprimé par Ja formule (I) :
Ét ant donnés quatre plans tangents et le centre d'un ellipsoïde de révolution, l’axe double a b, ou le diamètre du cercle principal de la surface, est défini par l’équation
(T) ^ sin(2 3 4)\/P; — b7 = o;
SmJl
P,, P„ P3, P4 désignant les distances du centre de l’ellipsoïde aux plans donnés, et sin (2 3 4) le sinus de V angle solide formé par les normales de trois de ces plans.
202. Problème II. — Former l'équation aux carrés des axes principaux d’une conique donnée de centre et circonscrite à un triangle donné.
* triangle inscrit; équation aux axes. 210
De l’équation
d’une ellipse rapportée à scs axes de figure, ou déduit, pour le carré du rayon vecteur mené du centre à un point quelconque de la courbe,
^ a5sin3a -+- è’cos’a’
\ja7 — b7
Si donc on désigne par p,, p,, p3 les distances du centre de l’ellipse considérée aux sommets 1, 2, 3 du triangle inscrit; par a,, a,, a3 les inclinaisons des diamètres correspondants sur l'axe an de la courbe, on peut écrire
S !?\ — b' <Jp] — b- \Jpl~b1
P1 pi pa
Et si l’on substitue ces valeurs dans l’identité
cosa, sin (a, — a,) -4- cosa, sin (a, — a,) -f- cosa, sin (a, — a,) = o,
on trouve successivement (Jig . 3o)
Ji Pi
sin (a, — a3) = o,
^ Vpî— 6*. pi p, sin (z,— xj) = o;
ou, en remplaçant enfin les produits p, p, sin (as — »3), .
par les équivalents a , P,, a, P2, . . .
(II) a, P, p] — 6= -h a , PîV^Pj — O* -ha, P3 — b2 — o.
Telle est l'équation aux carrés des demi-axes (b) d'une ellipse en fonction des côtés a,, at, az d’un triangle inscrit et des distances P,, p, ; P., p, ; Ps, p, du centre de la courbe aux côtés et sommets de ce triangle. Ces dernières distances p, , pt, p, disparaissent d’ailleurs de l'équation (II) développée.
203. Étant donnés quatre points et le centre d'un ellipsoïde de révolution, Taxe double 2 b, ou le diamètre du cercle principal de la surface, est défini par l’équation
(II’) ^ sin (p, p 3 p4) —tl. — — —o;
p,,cI,pa,p( désignant les demi-diamètres menés du centre aux quatre points donnés , et sin (p, p8 p») le sinus de l’angle solide formé de trois de ces diamètres (Nouvelles Annales de Mathématiques, i865, p. 208).
204. Problème III. — Former l'équation aux carrés des axes principaux d'une conique donnée de centre et conjuguée à un triangle donné.
Le problème actuel se peut ramener à celui des précédents où l’on a déduit l’équation aux carrés des demi-axes des seules distances du centre de la courbe aux côtés d’un triangle circonscrit.
Soient, en effet, pi,pi,ps les traces, sur les côtés 23, 31, 12 du triangle conjugué que l’on considère, des diamètres ol, o2, o3 aboutissant aux sommets opposés; et ,-nrJî,’a les points définis sur ces diamètres par les relations (f g- 3i)
(a) | t __ °r< «r, or,
ot.op, o'i.op , o'i.op.
Les points r,, rz obtenus de la sorte appartiennent à la
