TRIANGLE CONJUGUÉ; ÉQUATION AUX AXES

courbe, et les parallèles menées par ces points aux côtés *23, 31, 12 du triangle conjugué primitif, déterminent un second triangle l'2'3' circonscrit à la conique considérée : dont les demi-axes ( b ) seront fournis dès lors par l’équation (I) (n° 200, p. 212)

(I) a, vÆ',’ — b » H- a, \j¥f— & -+- a3 — o,

où a,, a,, a, désignent les côtés de l’un quelconque des triangles semblables 12 3, 1 '2' 3'; F, , P2, P3, les distances du centre de la courbe aux côtés du second 1 '2' 3'.

Fij;. 3i.

D’ailleurs, si par les sommets du triangle primitif 1 23, et parallèlement aux côtés opposés, on mène les côtés d’un troisième triangle 1 " 2W 3W, les égalités de construction (a) entraîneront entre les distances P,, P,, F^ ; PS,P2,P" ; P3, P3, P3 du centre o de la courbe aux côtés des trois triangles, les relations équivalentes

ou celles-ci

ta n" *

P.(P, + /i.) Pj(Pj + h-i) Ps (Ps + Aj)

les lettres ht, /ïs, /?a désignant les hauteurs opposées aux côtés ûs, a, du triangle 12 3, prises en valeur absolue;

et les distances P,, P,, P3 étant, comme à l’ordinaire, négatives toutes les trois pour un point o qui serait intérieur à ce triangle (*) .

Or les valeurs résultantes de P',% P',3, P',! étant substituées dans la «formule (I), elle devient successivement

V«, P, («, P, +«,/(,)— é’af^o,

ou, eu utilisant la relation

û, P, -t- a j P, -f- o3 P3 = — 2S, et multipliant tous les termes par \J — 1 ,

(III) VV**"? ■+■ a, Pi(aIP!-t-«3Ps) = 0.

Telle est l'équation aux carrés des demi-axes (b) d'une ellipse conjuguée à un triangle en fonction des distances P,,P,,P3 du centre de la courbe aux côtés de. ce triangle et des nombres a ,, at, a, qui mesurent ces côtés.

(*) On a, dans la^*. 3i,

P, <0, Pt>o, P, > o; et le passage, plus explicite, des relations

ol.op , o'l.opt oi.op ,

aux relations («") exigerait que l’on écrive d'abord, au lieu de ces dernières,

-(P. + MC-P.) (P,-t-*..)P, (P.-t-^JP,

^ THEOREME DE M. FAURE. 21 7

20o. Théorème I. — La somme a* -)- b' des carrés des demi-axes principaux d'une conique est mesurée par la puissance du centre de la courbe par rapport au cercle circonscrit à l'un quelconque de ses triangles conjugués.

(Faire. )

L’énoncé de ce théorème serait en évidence dans le second terme de l’équation précédente développée. Pour le * vérifier directement, rapportons la courbe (fig. 32) à deux diamètres conjugués Ox, Oy, dont l’un Ox passe par le sommet A du triangle conjugué ABC que l’on considère; et désignons par A1 la seconde trace de ce diamètre sur le cercle circonscrit à ce triangle, La puissance ts du centre de l’ellipse par rapport à ce cercle sera mesurée par le produit OA .OA',

(1) tj = ÔA.QA.

Or, le côté BC, parallèle à Oy, coupant l’axe Ox au point P, l’on a d’abord, eu posant

OP = x\

fl**

(2) Ok = n-.

La situation sur un môme cercle des quatre points A, A', B,C,

Fig. 3a.

et la division harmonique (B, C; M, M') donnent ensuite

(. fie ■ 3 *)

PA'. PA = PB. PC = PM2= PM'2 - r'» — — («'• — T”),

et l’on en déduit successivement

«'3.PÀ ~ n'3 (OA — OP)

i'3x' fa'3 -+- i'Mx' OA' = OP 4- PA = x' -+- — — = 77 — - — ;