OA
Il ne reste plus qu’à multiplier, membre à membre, les égalités (i), ( 2), (3) ; et l’on trouve dans l’égalité résultante, simplifiée,
(1,2, 3) ct = a'3-+- b'1 — a2 -f- à3.
206. Une autre démonstration résulterait encore des considérations suivantes.
Que l’on imagine une ellipse
et l’un de ses triangles conjugués; et que l’on prenne {Jig.ZZ) l’une des traces m du cercle circonscrit à ce triangle sur le cercle
lieu géométrique du sommet d’un angle droit circonscrit à la courbe. Par un théorème antérieur (n° 197, p. 209), les sommets de deux triangles conjugues à une conique font six points d'une autre conique. On pourra donc prendre le point m pour premier sommet d’un second triangle mnp, conjugué à l’ellipse, inscrit au même cercle C que le précédent, et dont les deux autres sommets seront les traces de ce cercle sur la polaire du point m par rapport à l’ellipse. Or si H est le point milieu de la corde NP, la division harmonique (N, P; n, p) entraîne la relation
(1) HN2= HP* =ltfn.H/ï.
fc '
En outre, comme l’angle N m P est droit, -le point II est le centre du cercle circonscrit au triangle N/nP; l’on a (2) HN = DP — lim,
Fie- 33.
et l’on peut écrire
La droite mH menée du point m au milieu de la corde jNP est donc tangente au cercle C. D’ailleurs cette droite prolongée passe par le centre O de l’ellipse , ou du cercle x 5 -4 -y* = a* -f- &*; et la tangente O m, menéedc ce centre au cercle C, est égale à \[a* -+- b 1 :
cr = O m — a2 -f- b7.
207. Remarque. — Chacun des points d'une conique représente un triangle conjugué de dimensions évanouissantes et dont le cercle circonscrit, toujours orthogonal au cercle diagonal de la courbe, est tangent à celle-ci au point considéré. On peut dire encore, en des termes équivalents, que ce cercle touche extérieurement la courbe, et. que son diamètre est égal au rayon de courbure de celle-ci pour le point considéré .
Soient effectivement (fig. 34) x un point extérieur à
Fig. 3J.
une conique, yz la polaire de ce point ; et, sur cette po-
laire, y z deux points conjugués par rapport à la courbe. Le point x demeurant immobile, si le point y se t rapproche infiniment de l’une des traces de la droile^'z sur la courbe, il en sera de même du point z ; et l’on verra, en passant à la limite (fi g- 35), que l’une quelconque des
Fic. 35.
tangentes menées à une conique par un point extérieur, représente un triangle conjugué qui a perdu l’une de ses dimensions, et dont le cercle circonscrit passe par ce point extérieur x, par le point de contact y de cette tangente, et touche en ce dernier point la polaire du premier x. Or si l’on conçoit maintenant, le point y restant fixe, que le point.r s’en rapproche indéfiniment; l’élément linéaire xy, auquel se réduisait le triangle conjugué précédent, va se réduire à son tour à zéro, ce triangle lui-même à un point y (Jig. 36), et son cercle circonscrit qui touchait en ce point
Fig. 36.
la polaire du point x et coupait orthogonalemenl le cercle diagonal de la courbe, en un cercle, orthogonal encore à ce dernier, et tangent à la courbe au poinlj^.
On peut ajouter que ce cercle limite (fig. 36) et le cercle
. THÉORÈME DE M. FAINVI W.
oscillateur qui lui correspond se touchent extérieurement, et que le rapport de leurs rayons est celui de i à a. Quelle que soit en effet la courbe considérée (Jig 35), le cercle variable, qui passe par le point de concours de deux tangentes infiniment voisines et touche leur corde de contact en l’une de ses extrémités, a pour limite un cercle, tangent extérieurement au cercle osculateur, et de rayon sous-double.
208. Théorème II. — La somme des carrés des demiaxes principaux d'un ellipsoïde est égale à la puissance du centre de la surface par rapport à la sphère circonscrite à l'un quelconque de ses tétraèdres conjugués.
Cette proposition, obtenue d’abord par M. Painvin [Nouvelles Annales de Mathématiques , 1860, p. 290), est susceptible de différentes vérifications fort simples.
L'ellipsoïde
étant rapporté d’abord à trois diamètres ü.r, Oy, O z (Jig. 3y), dont l’un, Ox, passe par le sommet A du tétraèdre conjugué ABCD; soient A' la seconde trace sur le diamètre Oj de la sphère circonscrite à ce tétraèdre;
(l) ni “ OA.tM?
la puissance du centre de l’ellipsoïde par rapport à celle sphère ; et
x = x' — OP
le plan polaire du sommet A, ou le plan de la face opposée BCD du tétraèdre : on aura d’abord
Mais il résulte du théorème précédent que la somme
déterminée dans l’ellipsoïde par le plan BCD, oui = .r', est égale à la puissance du centre P de cette section par rapport au cercle circonscrit au triangle BCD, ou encore à
Fie- 37.
j des carrés des demi-axes de la section
la puissance PA. PA 'de ce même centre P par rapport à la sphère ABCD; on a donc
PA.PA' = ( b’> H- c'2)
et l’on en déduit successivement
PA = tttt: = —7: : — = T. >
a'2. PA
nn , (è'2-t- c'2)x' («'’ + P+ ^x'
OA' = OP -f- PA' = x' 4- 2 „ ' = 2 —, — ,
OA
11 ne reste plus qu’à multiplier, membre à membre, les égalités (1), (2), (3). L’égalité résultante étant simpliliée, on trouve
209. Autre démonstration. — Considérons encore un tétraèdre conjugué quelconque, et l’un quelconque des points de rencontre m (Jig. 38) de la sphère circonscrite à ce tétraèdre et de la sphère
x2 -+- jr2 -+- z2 — a* -t- b2 -+- c
lieu géométrique des sommets des trièdres trireclangles circonscrits à l’ellipsoïde (a, b, c). Par un théorème sur lequel nous reviendrons, mais que nos identités rendent déjà évident, toute surface du second ordre menée par sept des sommets de deux tétraèdres conjugués à un ellipsoïde passe d'elle-mème par le dernier. On pourra donc prendre le point m pour premier sommet d’un second tétraèdre, conjugué à l’ellipsoïde (a, b , c), inscrit à la sphère S comme le précédent, et dont les autres sommets n, p , q appartiendront au plan polaire du point m par rapport à l’ellipsoïde. Or si O', A et B désignent le centre et
Fig. 38.
les demi-axes principaux de la section déterminée dans l’ellipsoïde par le plan npq , la puissance P0, de ce centre par rapport au cercle npq , ou par rapport à la sphère S (mnpq), sera égale, d’après le théorème de M. Faure, à A* B* :
D’un autre côté la section déterminée dans l’ellipsoïde par le plan npq étant inscriptible à un trièdre trirectangle de sommet m, cette section peut être regardée comme un el-
lipsoïde (A, B, C) inscrit à ce trièdre, ayant pour centre le point O' centre de la section, et dont l’un des axes principaux aC serait égal à zéro. Le théorème de Monge, appliqué à cet ellipsoïde évanouissant, nous donne dès lors :
et, par suite,
Or il résulte de cette égalité que la droite mO', menée du point m au centre O' de la section déterminée dans l’ellipsoïde par le plan polaire de ce point, e'st tangente à la sphère S. Mais celte droite m O', prolongée, passe par le centre O de l'ellipsoïde ; et le rayon O m = <Ja * -+- b* -+- c* est tangent à la sphère S. Donc, etc.
210. Théorème III. — Le rectangle des carrés des demi-axes principaux d'une conique est égal et de signe contraire au produit des distances du centre de la courbe aux côtés d’un triangle conjugué, multiplié par le diamètre du cercle circonscrit à ce tiiangle :
(a) u^b* — — 2RP,P,P,,
fr-
ies distances P,, Ps, P3 étant d’ailleurs toutes les trois négatives pour un point situé à l’intérieur du triangle.
L’équation (III), n°204, p. 216, fournirait à la fois l’énoncé et la démonstration de ce théorème que nous nous proposons ici de vérifier directement.
Soient, à cet effet (Jig. 3g), O le centre de l’ellipse considérée; fl,, a,, fls et S les côtés et l’aire d’un triangle conjugué A, A, Aj. Si l’on remplace 2R par le nombre équi-
valent
~ÏS~’
la formule qu’il
s'agit de vérifier pourra
