AUTRE MÉTHODE. CAS DU CERCLE. 22J

mier et au second triangle sont dans le rapport de 2 à 1 . On a donc aussi

(a') p = — 4R cos a, cos a, cosa„

(a") /.>R = 2P,PjP3,

formule que l’on peut vérifier directement et qui donne le demi-paramètre p d'une parabole inscrite à un triangle en fonction des distances P,, P,, P3 du foyer de la courbe aux côtés de ce triangle, et du rayon R du cercle circonscrit.

213. L’expression du rectangle des axes principaux d’une ellipse en fonction des distances du centre de la courbe aux côtés d’un triangle conjugué est susceptible d’une autre détermination géométrique tirée de la comparaison de l’ellipse au cercle décrit sur l’un de ses axes comme diamètre, et que nous allons indiquer comme introduction au problème analogue pour l’ellipsoïde.

i). A cet effet, considérons en premier lieu un cercle de rayon A ( fig . 4») ayant son centre à l’origine O et con-

Fig. /|0.

jugué au triangle ABC. Menons OA, OB, OC, et soient a, (3, y les traces de ces droites sur les côtés opposés BC, CA, AB, qu’elles coupent d’ailleurs à angle droit. Nous aurons, par les propriétés des pôles et polaires dans le cercle,

CHAriTRE VI.

et, par suite, en appelant a, [3, y les distances du centre du cercle aux côtés du triangle,

(a) A* = (OA.OB.OC^ctjfy).

D’ailleurs, la mesure des espaces triangulaires OBC, OCA, OAB donne lieu à trois relations de cette forme

OB . OC . sin A = BC • O a = a . a,

et l’on en déduit

OB .OC = -7— — • a, sin A

ou, en appelant R le rayon du cercle circonscrit an triangle ABC,

0B.0C = 2R.a, OC.OA = aR.p, OA.OB=aR.7,

.(b) OA.OB.OC = y (2 R * atpv-

Combinant (a) et (ô), il vient (1) A4=2Rapy';

c’est pour le cercle la formule cherchée, mais que nous devons écrire, en vue de la transformation qu’il nous reste à effectuer,

A4= 2 R . ou enfin

. b ^ . cy

aa. bp .cy a a . bp .cy