B,C,.0C, A..OA, B, w \B

ou x

8.0B|C,.QC, A, .OA, B, __ (fl,.a,)(ù,.p,)(c,.7,

ou enfin

214. Remarque. — La même méthode serait encore applicable aux problèmes suivants :

Le rectangle des axes principaux d’une conique inscrite (circonscrite) à un triangle ABC pouvant s’exprimer en fonction des distances du centre de la courbe aux côtés du triangle médian A'B'C' (et aux côtés même du triangle ABC) — Steiker, Faure, — trouver chacune de ces fonctions ?

A*. B1 — 4 R-a'- P’*'/ (Steiker), A2B2 — -R (Faure).

* • p -ty

215. Théorème IV. — Le produit a*b*c* des carrés des demi-axes principaux d' un ellipsoïde est. égal et désigné contraire au produit des distances du centre de la surface aux plans des faces d'un tétraèdre conjugué quelconque, multiplié parmi facteur géométrique n K! qui ne dépend que du tétraèdre :

a’.i’.c’zr — a.p.y.i. 2 K2.

i). Les côtés a , b , c, d d’un quadrilatère gauche, considérés en grandeur et en direction, donnent lieu à cette suite de rapports égaux •

a b c tl i a.b.c.d

sin (bcd) sin ( cda ) sin ( dab ) sin [abc) 6 V

On a effectivement, pour le volume du tétraèdre compris sous les mêmes sommets (fi g. 4t)>

V — ^ b . c . d' . sin ( bcd ' ).= ^ • b . c . d. sin ( bcd),

a ,V = g nbcd. sin [bcd],

a i abcd

sin(icrf) 6 V

sin (bcd) désignant le sinus de l’angle solide des trois directions b, c, d, ou le facteur trigonométrique par lequel

TÉTRAÈDRE CONJUGUÉ; RECTANGLE DES AXES. a3l

on devrait multiplier le produit de trois arêtes parallèles à

Fig. 4..

ces directions pour obtenir le volume du parallélipipède construit sur ces arêtes.

2) . Soient V le volume du premier tétraèdre, FA, FB, Fc, F„ les aires de ses faces et a', b' , c1, d' les côtés d’un quadrilatère gauche orthogonal au tétraèdre précédent, c'est-à-dire ayant ses côtés successifs perpendiculaires aux plans des faces de ce tétraèdre et proportionnels aux aires de ces faces. Le volume V' du tétraèdre a' b' c' d' compris sous les mêmes sommets a pour valeur

3) . On a, d’ailleurs, dans ce dernier quadrilatère,

sin [b’c'd') sin [c’d'a') 6 V' ’

de là, en revenant au tétraèdre primitif et désignant par a, (3, y, d les directions de ses quatre hauteurs,

Fa Fn Fa . F(1 . F(; . F,,

sin(Py«î) sin (7&z)

4). Le volume du tétraèdre ayant pour sommets l’origine et les points (x yz), { x'y' z '), (x"y"z"), est donné

par la formule

5) . Si les troisièmes coordonnées z, z', z",. . . de tous les points de la ligure augmentent dans un rapport donné, le volume du tétraèdre augmente dans le même rapport; et il en est de même pour un tétraèdre qui, n’ayant aucun de ses sommets à l’origine, pourrait encore être considéré comme égal à la somme algébrique de quatre tétraèdres ayant un sommet commun à l’origine.

6) . Ces lemmes posés, considérons d’abord, au lieu d’un ellipsoïde, une sphère de rayon a, ayant son centre à l'origine O et conjuguée au tétraèdre ABCD.

Menons les droites OA, OB, OC, OD, et désignons par a, (3, y, ô les traces de ces droites sur les plans des faces opposées, qu’elles coupent d’ailleurs à angle droit; nous aurons, par les propriétés des pôles et plans polaires dans la sphère ( Jig . 42) ,

«’= OA. O a — OB .0 p = OC. O y = OD.Oô ;

d’où, en appelant a, (3, y, 3 les distances du centre de la sphère aux plans des quatre faces de tétraèdre,

{a) a* = OA . OB . OC . OD X * • fi • 7 • Æ .

D’un autre côté, les aires des faces BCD, CDA, . . . étant désignées par FA, F„, . . . , et les directions des normales

Fig. 43.

OA, OB, . . . aux plans de ces faces par les mêmes lettres «, (3,...; le volume de chacun des tétraèdres, tels que OBCD, est mesuré par l’un ou l’autre de ces produits

g OB . OC . OD . sin ( OB, OC, OD) =gOB.OC.OD.sin (jfytf).