ABCD

7). La sphère précédente

et le tétraèdre conjugué ABCD étant rapportés à un même système d’axes ox, oj , oz, imaginons que l’on conserve les premières coordonnées x et y de tous les points de la figure, en augmentant le z de chaque point dans le rapport de c à a. Par ce changement, la sphère primitive

se transforme en un ellipsoïde de révolution

le tétraèdre ABCD, conjugué à cette sphère, en un tétraèdre A, B, C, D, conjugué à cet ellipsoïde; et tous les volumes OBCD, OCDA,. . ABCD, en d’autres qui sont aux premiers dans le rapport de c à a :

OB, C, D, = - -OBCD, . . . , A, B,C, D, — Î-ABCI), a a

d’où

v) OBCD = - • OB, C, D, , . . . , ABCD = -• A, B, C, D, ;

et ces valeurs étant substituées dans la relation (C), elle devient d’abord

PASSAGE DE LA SPHÈRE A l’eLLIPSOÏDE. a35

8). Conservant ensuite les coordonnées ,r et z de tous les points de la figure précédente, imaginons de môme q\ie l’on augmente Vjr de chaque point dans le rapport de b à a. Par ce changement l'ellipsoïde de révolution

se transforme en un ellipsoïde quelconque

le tétraèdre conjugué AtB|C, D, , en un tétraèdre A, B, C, D, conjugué à ce nouvel ellipsoïde ; et tous les volumes OB, C, D,, . . . , A, B, C, D,, en d’autres qui sont aux premiers dans le rapport de b à a :

OB, C, D, ~ OB, C, D, .—)••• 5 A, B, C, D, — A, B, C, D, . — , a a

d’où

(c,) OB, C, D, = -j- • OB, C, D„ . . . , A, B, C, D, = y A,B, C, D,. b b

Or ces valeurs étant substituées dans la formule (i#), elle devient

OU

ï)e là, en supprimant les indices maintenant inutiles, et désignant par a, (3, y, d les distances du centre dcl’ellip-

soïde actuel (S") aux plans des faces du tétraèdre conjugué A, B, C, D,, ou ABCD; par Fa» F«> Fc, l' i, les aires des faces de celui-ci, par V son volume, nous pourrons écrire

ou enfin

Fa Fa.Fb.Fc.Fd

sin ( p7^ )

216. Remarque. — On peut traiter à part la question des signes, de la manière suivante.

a). Une conique rapportée à un triangle conjugué ABC étant représentée par l’équation

les couples de tangentes réelles ou imaginaires menées à la courbe par chacun des sommets A, B, C du triangle donné ont respectivement pour équations

;«!BJ -t- n3C = o, /’A* — nJC!= o, CA’ — m-W — o.

Le premier sommet A est donc intérieur à la courbe et les deux autres lui sont extérieurs.

Si donc la courbe considérée est line ellipse, de centre O

[Jig. 43), et dont les demi-diamètres dirigés suivant OA,