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est convergente, c’est-à-dire s’il en est de même pour

On peut toujours, parmi les intervalles formant les Et ((?,), en choisir un nombre fini de manière que la contribution de ces intervalles A dans V soit aussi grande que l’on veut si V est divergente, et aussi près que l’on veut de la valeur de V si cette série est convergente. Supprimons assez de ces intervalles A , sans changer l’ensemble somme de ces intervalles, pour qu’aucun

Intégrale , Longueur y Aire.

des intervalles conservés ne soit à l’intérieur d’autres intervalles conservés. La contribution dans V des intervalles supprimés est moindre que D.

Considérons deux intervalles empiétant l’un sur l’autre ( è(), («j, bj) relatifs à e',- et é j Supposons que l’on ait

«,• < aj <bi< bj .

Entre Uj et A il ne peut y avoir à la fois des points de e ,• et de e'j sans <juoi r (aj + t , bl — c) serait à la fois compris entre ni , et m(+, et entre u/j et u/jM. On peut donc trouver entre aj et ô, un point c tel qu’entre «, et c se trouve un point de e' ; et entre c et bj un point de e'j . Alors on a :

I f(c) — /■(«/) i -f fibj) — / (O I = (c — «.) r (a, , c) | + — 0 I »* (O •

Donc le premier membre, c’est-à-dire la variation de /’(a’) entre a, et bj quand on considère la division

U; C bj ,

est égal à la contribution dans V des deux intervalles («(, &,), («j, bj) à moins de ( b ; — Oj) nij — mt -f ■/) (bj — a,) près. La quantité (b, — Oj) nij — m , | est inférieure à la contribution dans D de l’intervalle (Oj, bj).

En continuant ainsi, on est conduit à considérer une suite de valeurs croissantes x0xixi... en nombre fini. La somme ±:f(x,) — f(xi+t)\ diffère de la contribution des intervalles A dans V de moins de D -f v\ m (A). Or cette somme est inférieure à la variation totale de f(x). Donc la limite de V

c’est-à-direj \f\dx est inférieure ou au plus égale à la variation totale de

f(x). C’est-à-dire que si f(x) est à variation bornée J I /’ I dx existe et est

inférieure à la variation de f(x).