Supposons que l’intégrale J f'\dx existe

Enfermons les points de et dans une infinité dénombrable d’intervalles Ai} on peut choisir m (A,) aussi petite que l’on veut. A chaque point xa de e, faisons correspondre le plus grand intervalle («, /3) de longueur inférieure à ayant x0 pour milieu, tout entier à l’intérieur de A, et tel que

a < a ?= xQ ^ b (î

entraine

Wj — «,-<»• O, b < £(-,

L eh es g ne :

Soit (a',) la somme de ces intervalles. A condition de choisir convenablement les n'i et eh la somme D sera aussi petite qu’on le voudra,

D = mu y. ni [e{ (a',)].

Chaque Ei(?î) ou e,(V,) est somme d’une infinité dénombrable d’mtervalles n’empiétant pas les uns sur les autres. Si f [x] est définie dans (a, b), chaque point intérieur à (a, b) est intérieur à l’un au moins de ces intervalles et de plus a et b sont des extrémités de tels intervalles, donc, d’après un théorème sur les ensembles, on peut choisir parmi les intervalles qui forment les Ei (a,) et les et (V,) un nombre fini d’intervalles B tel que tout point intérieur à («, b) soit intérieur à l’un des B.

Nous supposerons ce choix fait de façon qu’aucun intervalle conservé ne soit intérieur à d’autres intervalles conservés. La contribution dans V des intervalles des Et (at) non employés est au plus égale à Z) -f Z),, Z), étant l’intégrale de I f'\ dans l’ensemble des et (</,).

En raisonnant sur les B comme sur les ^4, on est conduit à considérer des nombres

x0 = a < x, < x2 . . . < xn = b.

La somme 2 \ f{x) — f(xi- 1) | est égale à la contribution dans V des intervalles conservés provenant des E \ (a,), à moins de D -f- D + n {b — a) près.

Or deux nombres Xi consécutifs proviennent d’un même intervalle appartenant à l’un des Ei(' ?,-) ou des et- (s't), lequel peut être décomposé en intervalles de longueurs au plus égales à 2 a, ou 2 a', , la somme des variations correspondantes à une telle division diffère toujours de V de moins de 2 Z) -f Z), -f* D + •/; (b — a). Or par l’introduction de ces nouveaux points de division, en prenant le maximum a des a, et a' • assez petit, on rend la somme 2 1 f(Xi) — f(Xi-i) I aussi voisine que l’on veut de la variation totale de f tx) dans (a, b).

De là résulte que si J f' (x) d x existe, la fonction f(x} est à variation bornée, cette variation étant égale à la valeur de l’intégrale y\f \dx.

32. Nous avons ainsi trouvé la condition nécessaire et suffisante pour que l’intégrale de | f existe, et nous connaissons sa signification.

Mais le raisonnement précédent fournit d’autres résultats. Reprenons en effet ce raisonnement et portons notre attention sur les ensembles ei} E i£,-(a), E{1 etc. à indices positifs.

Nous voyons que la variation positive totale de f(x) entre a et x est égale à l’intégrale de f (or) étendue à l’ensemble des points pour lesquels f est positive, c’est-à-dire à l’intégrale

De même pour la variation négative on a:

Et comme l’on a:

f 0*0 — f (a) = P (or) — n (t)

f(r) .*= f (a) -f | f (r) dx.

Ainsi une fonction f (r) étant donnée nous savons reconnaître si elle est la dérivée d’une fonction à variation bornée et, s’il en est ainsi, nous savons trouver ses fonctions primitives.

Si f (x) est bornée, ses fonctions primitives s’il en existe sont à variation bornée, nous pouvons les trouver.

Mais l’intégration, telle que nous l’avons définie, ne nous permet pas de savoir si une fonction donnée a des fonctions primitives à variation non bornée (*).

33. La fonction f (x) donnée par f(x).= sin pour ,r=]=0 et f (0) — 0 est continue et à variation non bornée.

(*) Ce dernier résultat était évident puisque (Note du § 26) toute intégrale indéfinie est à variation bornée.

La démonstration qui précède montre que, pour obtenir une fonction f (x) à variation non bornée connaissant sa dérivée, par une méthode analogue à celle que nous avons employée quand f est à variation bornée, il faudrait mettre un certain ordre dans les termes des séries telles que -)»,■ m [E, (»,•)], L»; m(ei).

La généralisation de la notion d’intégrale indéfinie donnée dans le paragraphe suivant, permet dans quelques cas d’obtenir ce résultat; aussi elle donnera des fonctions primitives à variation non bornée.

hebesgue :

En effet

fi

(Jonc la somme des variations est - - - - , série divergente.

Oette fonction admet une dérivée f (æ),

et

f (x) = 2 x sin