II. Intégrales indéfinies et fonctions primitives

DES FONCTIONS d’üNE VARIABLE.

26. On appelle intégrale indéfinie d’une fonction f(x ), ayant une intégrale définie dans un intervalle (a, (3), une fonction F (x) définie dans (y, (3) et telle que, quels que soient a et b compris entre a. et /3, on ait :

Do cotte égalité on tire :

Donc toute fonction ayant une intégrale définie admet une infinité d’intégrales indéfinies qui ne diffèrent que par une constante F (a).

L’intégrale indéfinie est une fonction continue (*), cela est évident si la fonction f(x) est bornée. Pour le démontrer dans le cas général reprenons les notations du paragraphe 24; a étant arbitrairement choisi il faut démontrer que dès que h est inférieur en valeur absolue à une certaine quantité on a :

F (a -h h ) — F (a) = ff(x) d x < e.

Nous allons, pour simplifier, supposer h positif.

Il existe an plus une infinité dénombrable de nombres m, tels que les ensembles e; correspondants aient, nne mesure non nulle, on pourra donc supposer que les in, n’ont pas été pris parmi ces valeurs exceptionnelles, c’està-dire que nous ferons in (ef) = 0, ce qui simplifie les sommes n et I.

Alors si l’on suppose in0 = 0 (**), on peut écrire

en désignant par e'i(h) la portion de é{ comprise entre a et a-\-h. Considérons un système fixe de nombres m, . Les deux séries du second membre ne varieront que si h varie et l’on peut supposer h assez petit pour que la valeur absolue d’un nombre fini quelconque de termes du second membre soit aussi petite que l’on veut. Donc on peut prendre h assez petit que les deux séries du second membre, qui sont l’une à termes positifs, l’autre à termes négatifs, soient aussi petites que l’on veut en valeur absolue.

(*) On peut aussi ajouter qu’elle a une variation bornée; cette variation étant au plus égale à / | f (x) ' dx. La démonstration est la môme que celle qu’emploie M.r Jordan, Cours d' Analyse § SI. Ceci explique les résultats obtenus plus loin (§§ 30, 31, 32).

(**) Alors e0 ne sera peut-être pas de mesure nulle, mais cela n’a pas d'importance pour la suite.

Lekesgue:

Mais pour passer à la limite il faut, entre les mt choisis, introduire de nouveaux nombres; cette opération fait diminuer, en valeur absolue, les deux

• ct-\-h

séries du second membre; donc il est bien démontré que j f (x) d x peut être

rendue aussi petite que l’on veut. L’ intégrale indéfinie est donc bien une fonction continue. '

27. Si M et m sont les maximum et minimum de f (x) dans (a, a-\-h )

on a:

d’où

donc pour x = «, si f(x) est continue en ce point, F (x) a une dérivée égale à f (a).

Si f(x) est continue pour toute valeur de ,r, F (x) est l’une quelconque des fonctions qui admettent pour dérivée f (.r), c’est-à-dire l’une des fonctions primitives de f(x).

Ainsi dans le cas des fonctions continues il y a identité entre la recherche des fonctions primitives et la recherche des intégrales indéfinies d’une fonction donnée. Ce résultat bien connu est encore vrai lorsqu’il s’agit d’une fonction dérivée intégrable au sens de Riemann (*). Mais il existe des fonctions dérivées qui ne sont pas intégrables au sens de Riemann (**;; une de ces fonctions étant donnée on ne peut pas calculer ses fonctions primitives à l’aide de l’intégration, au sens de Riemann.

Nous allons voir que toute fonction dérivée bornée admet une intégrale indéfinie qui est une de ses fonctions primitives; nous saurons donc calculer la fonction primitive, si elle existe, d’une fonction bornée donnée.

Relativement aux fonctions dérivées non bornées, nous démontrerons que si elles admettent des intégrales il y a identité entre leurs fonctions primitives et leurs intégrales indéfinies.

(*) Voir Darboux, Mémoire sur les fonctions discontinues.

(**) M.r Volterra a le premier donné elieetivement un exemple de ces fonctions (Giornale de Battaglini , t. XIX, 1881). Cet exemple est reproduit plus loin.

28. La dérivée d’une fonction f(x) est la limite quand h tend vers zéro de l’expression :

laquelle, h étant fixe, représente une fonction continue; donc la dérivée est limite de fonctions continues, elle est sommable.

Supposons que la dérivée f soit toujours inférieure en valeur absolue à M. En vertu du théorème des accroissements finis y(x) = f'(x- f 5//), donc les fonctions f (x) sont bornées dans leur ensemble et par suite l’on a i§ 25):

donc

lim

^f'xdx = f(h) — f(a).

Toute fonction dérivée bornée admet comme intégrales indéfinies ses fonctions primitives; ce résultat est encore vrai s’il s’agit de dérivée à droite, ou à gauche bornée; ou d’une limite vers laquelle tend ® (x) pour certaines valeurs de h tendant vers zéro.

29. Pour appliquer ce qui précède, nous allons rechercher s’il existe des fonctions primitives pour la fonction définie de la manière suivante :

Soit un ensemble E fermé non dense dans toute portion de (0, 1) et de mesure non nulle. Soient (n, b) un intervalle contigu à E (*) et c le milieu de cet intervalle. La fonction

cp (x — a) = 2 (x — a) sin — 1 - cos 1

îX/ et de ■ ci

s’annule une infinité de fois entre a et c; soit a -f d le point le plus voisin de c, entre a et c, pour lequel elle est nulle.

La fonction f(x) dont nous allons nous occuper est nulle pour tous les points de E ; dans chaque intervalle (n, b) contigu à E , elle est égale à f (x — a) entre a et a -f d, nulle entre a -f- d et b — d, égale à — ® (b — x) entre b — c? et b.

(*) C’est-à-dire un intervalle ne contenant pas de points de E et dont les extrémités sont points de E. — Cette expression est de M.r Baire.

Lebesgue :

Cette fonction est continue dans chaque intervalle contigu à E, discon • tinue pour tous les points de E qui sont des points de discontinuité de seconde espèce.

De plus f(x ) est toujours comprise entre — 3 et -f 3. Pour que f{x) admette une fonction primitive, il faut d’abord qu’elle admette une intégrale définie dans l’intervalle (0, 1). Cette intégrale, si elle existe, est égale à l’intégrale prise dans E plus l’intégrale prise dans C(E), à supposer qu’elles existent. Or l’intégrale dans E existe et est nulle; l’intégrale dans C(E) existe aussi, car elle est la somme des intégrales prises dans les intervalles contigus à E, lesquelles sont nulles.

D’après cela la fonction E (x) nulle pour les points de E, et définie dans tout intervalle («, b) contigu à E par les égalités

F (a1) — {x — a )■ sin - entre « et « -f d

F (x) = d2 sin

E (x) = (b — .r)? sin

entre a : -f- d et b — d entre b — d et b

est égale àj f(x) d x.

Donc si f(x) a des fonctions primitives, F (x) est l’une d’elles.

Pour tous les points où f(x) est continue, c’est-à-dire pour tous les points de C(E), on a évidemment

Soit a un point de E; si a est extrémité d’un intervalle contigu à E, situé à droite de a, F (x) a évidemment une dérivée à droite nulle. Supposons qu’à droite de a se trouve une infinité de points de E, ayant a pour point limite. Soient a, un de ces points, pour x supérieur à a,- le rapport

r yx) =

est en valeur absolue inférieur à

donc tend vers zéro quand x tend vers a.

En tous les points de E, F (x) a donc une dérivée à droite nulle, on verrait de même qu’elle a une dérivée à gauche nulle, et par suite pour toute valeur de x comprise entre 0 et 1 on a :

La fonction f(x) est donc une fonction dérivée; elle n’est pas intégrable (au sens de Riemann) puisque l’ensemble de ses points de discontinuité a une mesure non nulle.

Cet exemple de fonction dérivée non intégrable au sens de Riemann est dû à M.r Volterra, Giornale de Battaglini , tome XIX (*).

30. Les fonctions primitives que nous venons de trouver sont à variation bornée (**). Nous allons démontrer que : la condition nécessaire et suffisante pour que V intégrale de la dérivée (bornée ou non) d’une fonction dérivable existe est que cette fonction soit a variation bornée. S’il en est ainsi , la fonction est l’une des intégrales indéfinies de sa dérivée.

Puisque f (x) est sommable, pour rechercher son intégrale opérons comme au paragraphe 24. Nous supposerons tous les e , de mesure nulle et de plus m0 — 0, ce qui est possible si, au lieu de raisonner sur la fonction donnée f(i r), on raisonne sur f{x) -j- Kx, K ayant été convenablement choisi.

A chaque point x0 de e), on peut faire correspondre un intervalle («, /3) tel que si l’on a :

a < a ^ Xo b < 0

on ait aussi

mL < r (a, b) = . •

Nous définirons (a, /3) comme étant le plus grand intervalle possible de longueur au plus égale à un nombre donné a et ayant x0 pour milieu.

Si est toujours inférieur à >7, (b — a) r («, b) est à y (b — a)

près égal à f (x0)(b — a).

(*) Des séries uniformément convergentes, dont les ternies sont des fonctions analogues à celle que nous venons de considérer, permettent à M.r Volterra de donner des exemples de fonctions dérivées qui 11e sont intégrables dans aucun intervalle.

L’intégration terme à terme de ces séries nous donnera les fonctions primitives.

(**) Nous nous servirons ici de quelques unes des propriétés de ces fonctions (Voir Jordan, Comptes Rendus de V Academie des Sciences 1881 et Cours d’ Analyse 2ême Edition, tome I). La plupart de ces propriétés sont reprises dans le chapitre suivant, de sorte que les paragraphes 30 à 35 pourraient être mis dans ce chapitre. L’ordre adopté dans le texte permet de réunir tout ce qui a trait à la recherche des fonctions primitives,

Lebesgue:

Soit Et (a) l’ensemble somme des intervalles qui correspondent aux points de e'i. Ei(i) peut être considéré comme une somme d’intervalles n’empiétant pas les uns sur les autres; si (a, b) est l’un de ces intervalles et si l’on a:

on a aussi

ni, < r (a, /5) <»»,-+,

pourvu que, entre a. et /5, se trouve au moins un point de e , .

Ei (cr) contient e',- . Faisons tendre o vers zéro et soit x0 un point appartenant à une infinité d’ensembles E\ ( a), f (x 0) est la limite des valeurs de r («, 13) relatives aux intervalles des E ,■ (a) qui contiennent x0 , donc x0 est point de e,, de e',- ou de ei+K . Par suite l’ensemble Eh formé des points communs à une infinité de F((a) relatifs à des valeurs de 7 tendant vers zéro, contient e t et des points de et -f- ei+, , il a donc même mesure que e,-. De plus comme chaque Ei (7) contient les ensembles relatifs aux valeurs plus petites de a, m(Ei ) est la limite de m [£, (?)]. On peut donc choisir les nombres

de manière que la somme D soit aussi petite que l’on veut,

D = I m, I . ( w [Ei (<7,)] — ni (F()j .

Ceci posé, remarquons que | f d x et | | f ' | d x existent en même temps de sorte que jf'dx existe si la série

2 mi 1 . m (é,) = 1 ni, I . m ( E ,)