COS

pour x =J= 0

f (x) nous fournit un exemple de fonction non bornée, sommable, n’ayant pas d’intégrale, f (x) étant donnée, les méthodes précédentes ne permettent pas de trouver f (x).

Il est intéressant de remarquer que la définition classique de l’intégrale d’une fonction devenant infinie dans le voisinage d’un point, permet de trouver f(x) connaissant f {x). C’est que, dans le cas où la fonction à intégrer n’est, pas bornée, la définition que nous avons adoptée n’est pas une généralisation • de la définition classique, elle est autre que cette définition, mais concorde avec elle lorsque toutes deux s’appliquent. Il serait d’ailleurs très facile de généraliser la notion d’intégrale définie de façon que la définition classique et celle que uous avons adoptée deviennent des cas particuliers d’une définition plus générale. Pour simplifier les énoncés qui suivront, nous conserverons cependant au mot intégrale définie le sens précédemment adopté, mais nous étendrons le sens du mot intégrale indéfinie.

Nous avons vu que foute intégrale indéfinie était continue. Si maintenant nous considérons cette propriété comme l’une des parties de la définition des intégrales indéfinies, nous sommes conduits à dire que :

Une fonction f{x) définie dans (a, /3) a dans cet intervalle une intégrale indéfinie F (x), s'il existe une fonction continue F (x'*, et une seule à une constante additive près , telle que l'on ait :

pour tous les systèmes de nombres a et b choisis , entre a et manière

que h second membre ait un sens y*).

34. L’intégrale indéfinie d’une fonction dérivée est toujours une de ses fonctions primitives puisqu’une fonction primitive est continue et, d’après ce que nous avons dit, vérifie bien l’égalité

F (b) — F (a) = | f(x) cl x

toutes les fois que le second membre a un sens.

Nous saurons ainsi trouver la fonction primitive de la fonction f' (x) du paragraphe 30.

Mais il est facile de former des fonctions dérivées n’ayant pas d’intégrales indéfinies.

Soit v(x) une fonction dérivable définie entre 0 et 1 s’annulant pour 0 et 1 ainsi que sa dérivée, ayant une variation bornée dans tout intervalle intérieur à (0, P’, ayant une variation non bornée dans tout intervalle dont une des extrémités est 0 ou 1.

On sait trouver f ( x ) quand on connaît o' (x), car y ( x ) est celle des intégrales indéfinies de y (x) qui s’annule pour x = 0.

Considérons un ensemble E fermé non dense dans toute partie de (0, 1) et de mesure non nulle; par exemple, celui que l’on obtient en retranchant de (0, 1) une suite indéfinie d’intervalles dont les milieux sont les points d’abscisses rationnelles et dont la somme des longueurs est inférieure à 1.

Définissons une fonction f(x) continue, par la condition d’être égale à

(b — a)* cj>

dans tout intervalle (a, b) contigu à l’ensemble E.fyx ) est

alors nulle en tous les points de E. Cette fonction est dérivable, sa dérivée

r f x — ct\

est nulle pour les points de E) égale à (b — a) <jp U - P pour les points d’un

intervalle (fl, b) contigu à E.

Cette dérivée f' (x) n’admet pas d’intégrale indéfinie. En effet si elle en admettait, ses intégrales indéfinies seraient f(x) -f- cte. Mais soit <p ( x ) la fonction qui représente la mesure de l’ensemble de ceux des points de E qui

(*) Comparer cette définition avec celle que donne M.r Jordan de l’intégrale définie d’une fonction non bornée. Cours d’Analyse, 2.e Edition, Tome II, p. 40 à 94.

Lebesgue :

sont dans l’intervalle (0, rr) ; <p (x) est une fonction continue, constante dans tout intervalle contigu à E , donc f{x) 4- ip (x) satisfait à l’égalité

[f{*) + Hx)Jrjr (*) dx

pour tous les systèmes a, j3 pour lesquels le second membre a un sens.

Les définitions que nous avons données ne suffisent donc pas pour qu’il soit possible de parler d’intégrales indéfinies de f ( x }.

Le problème de la recherche des fonctions primitives n’est pas complètement résolu (*).

35. Soit f(x) une fonction continue; on peut donner à h une suite de valeurs tendant vers zéro telles que

f(x o -(- h) — / (xo)

ait une limite. L’ensemble des nombres ainsi définis, correspondant aux valeurs positives de /*, admet une limite supérieure Ad et une limite inférieure ).d qui sont les extrêmes oscillatoires à droite de la fonc tion f (x ), pour le point x„ . De même on définit Ag , ).g . Ces quatre nombres sont les nombres dérivés; dans certains problèmes ils rendent les mêmes services que la dérivée (**).

Le problème suivant: Trouver une fonction connaissant l’un de ses nombres dérivés f***), est donc une généralisation du problème que nous venons de traiter.

Quelques cas particuliers de ce problème se résolvent à l’aide de l’intégration au sens de Riemann (Dim, loc. cit.). L’intégration, telle que nous

(*) On peut dire que nous savons résoudre ce problème lorsque l’intervalle de variation de x peut être considéré comme somme d’un ensemble non dense E et de l'ensemble des intervalles (x, |3) contigus à A, l’ensemble E étant réductible et la fonction proposée ayant une intégrale indéfinie F(x) dans chaque intervalle (x, p).

Même si E n’est pas réductible le, problème peut être résolu, à condition que la fonction soit intégrable dans E et que la série des quantités [A(P) — A’(x)] soit absolument convergente. Il en est ainsi dans l’exemple précédent, mais ce n’est pas le cas général.

(**) Voir Dini: Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabilî reali.

p**) Ce problème a un sens; c’est-à-dire que toutes les fonctions qui ont un même nombre dérivé donné ne diffèrent que par une constante (Volterra. Siti principii del Calcolo Intégrale. Giornale de Battaglini, XIX).

l’avons définie, permettrait de le résoudre dans des cas pl us étendus. Nous nous bornerons aux indications qui suivent.

Tout d’abord, si l’un des quatre nombres dérivés est toujours fini, Ad par exemple, c’est une fonction sommable. En effet cherchons l’ensemble E des valeurs de x pour lesquelles Ad est supérieur à un nombre donné M. Donnons à h toutes les valeurs positives rationnelles inférieures à e,; à chacune d’elles correspond une fonction — UlÛ = ^ (y, hy \ ÿ (x, //)

correspond un ensemble mesurable E (h) formé de tous les points pour lesquels on a:

Soit J? (g,) l’ensemble somme de tous les E (h) ; il est mesurable.

A g2, £3... correspondent E (£2), E (e3) . . .

Si les £ tendent vers zéro, l’ensemble commun à tous les E (e,) qui est mesurable contient l’ensemble cherché, plus des points pour lesquels on a: Aa = M. Cela suffit pour qu’oy en conclue que la fonction Ad est sommable.

Supposons maintenant que l’un des quatre nombres dérivés soit borné, auquel cas tous les autres le sont. (*). Ad aura alors une intégrale.

Considérons une suite de nombres positifs décroissant jusqu’à zéro //,, Ji2... et les fonctions