n f(* + hi)—f{x

A chaque valeur de x correspond une valeur » telle que, pour i ^ », on a :

? (*, hi) < Ad (x) -f e.

Soit Ek l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles on a » ^ k. Le complémentaire C (Ek) pris par rapport à l’intervalle considéré a une mesure qui tend vers zéro avec , et pour les points de cet ensemble on a:

? 0b hk) — A d (x) ?= M

(*) Car si \a est toujours compris entre A et B , le rapport

est toujours

compris entre A et B. (Voir Dini. Fondamenti, etc.).

Lebesgue:

si il/ est la limite supérieure de la valeur absolue de A d- Donc (* *)

l 'f {x, hk) d x < | Ad {x) d x -f e m (En) -f M m C ( En )

Evaluons le premier membre

cp (.r, hk) clx =

' fix + hk)-f(x) hk

= f(b -f 6 hk) — f {a -f 0' hk).

Lorsque k augmente indéfiniment cette quantité tend vers f {b) — /(«), on a donc

fih)~ f(a)< | Ad (x) d x.

De même on trouverait

| ld (.r) dx<f ( b ) — f (a).

Donc si les deux nombres dérivés à droite (ou à gauche) d’une fonction f{x) sont bornés et ont même intégrale , leurs intégrales indéfinies sont égales à f (x) à une constante additive près.

III. Intégrales definies des fonctions de plusieurs variables.

36. Il n’y a aucune difficulté à étendre les résultats obtenus aux fonctions de plusieurs variables.

Une fonction f sera dite sommable si l’ensemble des points pour lesquels on a :

a <if<b

est mesurable, quels que soient les nombres a et b.

(*) Pour que f ï(æi hp) d x ait un sens il faut que f{oc) soit définie dans «, h + hk'

Il sulï'it de définir f{x) comme constante et égale à f (b) pour x plus grand que l.

Les fonctions continues par rapport à l’ensemble dos variables sont sommables. La somme, le produit de deux fonctions sommables, la limite d’une suite de fonctions sommables sont des fonctions sommables. Donc les fonctions discontinues que M.r Baike appelle fonctions de première classe, de seconde classe, etc. sont sommables.

Les fonctions de n variables continues par rapport à chacune d’elles sont de n — lème classe au plus(*), donc elles sont sommables.

Soit f une fonction sommable. Considérons des nombres

. . . < ni- 2 < ni-i < m0 Ow, < m2 <C . . .

tels que m,- — ait un maximum >7.

f=nti pour les points d’un ensemble mesurable e,; < f mi+l pour

les points d’un ensemble mesurable e Les deux sommes

o = 2 nii ni {e;) + 2 »?,• ni (e\), 2 = 2 ni , m (ef) -j- 2 nii+l ni (e',)

ont en même temps un sens ou n’en ont pas.

Si elles ont un sens, il en est de même quels que soient les choisis et ces deux sommes tendent vers une même limite quand >7 tend zéro.

Cette limite est l’intégrale de f. o et 2 ont un sens lorsque f est bornée de sorte que toute fonction sommable bornée a une intégrale.

Les définitions qui précèdent s’appliquent, que la fonction soit définie dans un domaine ou pour les points d’un ensemble, lequel devra nécessairement être mesurable pour que la fonction soit sommable.

Soit une fonction f bornée définie dans un ensemble E mesurable. Si f n’est pas sommable il existe une infinité de fonctions sommables bornées <j> telles que l’on ait toujours

Soit <j>, (.-r), cp2 (x) . . . mie série de ces fonctions dont les intégrales tendent vers la limite supérieure des intégrales des fonctions ÿ. Soit ^ ( x ) une fonction égale pour chaque valeur de x0 à la limite supérieure des nombres (rr0), y, (x0) . . . On démontrera facilement que ÿ (x) est sommable. Son intégrale n’est pas inférieure aux intégrales des fonctions <pj (x) et comme ^ (x)

(*) Voir Lebesgue. Sur V approximation des fonctions. (Bulletin des Sciences Mathématiques, 1898.)

L ebes g ne :

est une fonction f (x) l’intégrale de tp ( x ) est exactement égale à la limite supérieure des intégrales des fonctions çp (x).

Donc, étant donnée une fonction bornée /', il existe une fonction sommable non supérieure à f et dont l’intégrale est la limite supérieure des intégrales des fonctions sommables non supérieures à f. C'est l’intégrale inférieure de f.

On définirait de même l’intégrale supérieure (*).

37. Nous allons rechercher si l’on peut ramener le calcul d’une intégrale multiple à des calculs d’intégrales simples. En nous bornant au cas de deux variables nous allons essayer de généraliser la formule classique

| \ fdxdy = [(j/‘rf y^dx.

Le cas le plus simple que nous ayons à examiner correspond à f = 1. Nous avons alors à évaluer la mesure superficielle d’un ensemble en fonction des mesures linéaires de ses sections. Les considérations développées aux paragraphes 18 et 19 résolvent un cas particulier de ce problème.

Soit E un ensemble plan mesurable. Nous désignerons par E (x0) l’ensemble des points de E dont l’abcisse est x0, c’est-à-dire la section de E par x == x0 . E (x0) n'est pas nécessairement mesurable, s’il existe des ensembles de points sur une droite non mesurables linéairement, puisque tout ensemble borné de points sur une droite est mesurable superficiellement. Mais E (x„) sera mesurable (B) linéairement si E est mesurable (B) superficiellement. Or on sait que E contient un ensemble mesurable (B) Et de mesure m (jE7), la mesure de Et (x 0) sera donc au plus égale à la mesure intérieure de E (x0)] c’est-à-dire au plus égale à l’intégrale inférieure, prise sur x = x0 , de la fonction (j> égale à 1 pour les points de E , nulle pour les autres points. Donc

m [Et (.r0)] ^\f(x0, y) dy.

inf.

En se reportant au paragraphe 7 où a été démontrée l’existence de E , , on voit que Et est défini comme formé des points communs à tous les ensembles de la suite A , , .4 2 , . . . ; l’ensemble Ai étant somme d’une infinité dénombrable de rectangles n'empiétant pas les uns sur les autres et dont les côtés sont parallèles à 0 a; et 0 y. A{ contient Ai+i ,

(*) Toutes ces définitions s’interprètent géométriquement comme pour le cas d’une variable. S’il y a n variables, il faut considérer un espace à n + 1 dimensions.

Or mi [A;(x)\ est la somme des mesures des sections par la droite d’abcisse x des rectangles C,-j qui composent A,-. On a donc

Dans cette série les restes sont limités supérieurement en valeur absolue, car E, étant borné tous les A , sont situés dans un même domaine borné et par suite rensemble (par rapport à i et à ;c) des nombres nn [/l,(aq] est borné. Cette série est donc intégrable terme à terme, § 25.

L’intégrale de mi [Cu (x)] est l’aire de (7, y, donc

m, (Ai) = I mi [Ai (.r)] d x.

Or les limites pour i infini des nombres nii [A, (x)], ms (>1,) sont mi [Et(x ] et m,(E) et comme l’ensemble de ces nombres est borné, on a:

j nu [E{ (»■)] d x = lim I mi [.4(- (a-)] d x = lim ms (/!,) = ms (E{) v*).

On peut donc en conclure que :

ms(E) miiint [E(x)] d x

inf.

et aussi que

ms(E)^J (J ?(x,y)dyjdx.

inf. inf.

De la même façon on démontrera que :

ms (E)-J (J <? (.r, y) d y j d x.

Slip. Slip.

De là on conclut que l’on a :

ms (E) =J ( | f (x, y) d yj d x = J Q ? (.r, y) d y ) d x (**).

iuf. inf. sup. sup.

(*) Ce raisonnement peut être interprété de la façon suivante: ms [/?, (a-)] est une fonction de seconde classe au plus.

(**) Jusqu’ici les intégrales sont étendues à certains segments des axes Ox et 0 y.

Lebesgue:

Pour la fonction f ■— 1 définie seulement dans l’ensemble sommable E , dont les sections ne sont peut-être pas toutes mesurables

\fdxdy = J

inf.int.

inf.int. sup.ext. sup.ext

J fdtjjdx

l’intégrale par rapport à x étant étendue à l’ensemble e projection de E sur O r, la seconde à l’ensemble E (x). Mais ces deux ensembles ne sont peut

être pas mesurables linéairement. Le signe j indique la limite supérieure des

inf.int.

intégrales inférieures de /'étendues aux ensembles mesurables contenus dans A. L’égalité précédente peut encore s’écrire

ms (£')=) wz,iut. [E (as)] d x = j vnyCXt [E (x)] d x.

inf.int. sup.ext.

38. La formule trouvée pour exprimer J j fdxdy est générale, elle

s’applique à toutes les fonctions sommables bornées.

Désignons par cp (.r, y) une fonction égale à f pour les points de 77, nulle pour les autres points. Si E est tout entier intérieur au rectangle O A C B dont les côtés 0.4 et OB sont portés par ox et oy, la formule à démontrer est équivalente à la suivante