AB AB

J J ? (*, y) d x d y = J ( J cf (x, y) d y) d x = j ( J? (*, y) d r/j d x.

OACB Oinf. Ô,inf. 0,sup. Ü.sup.

C’est cette formule que nous allons démontrer.

Soient m0, »*,...»*« les divisions de l’intervalle de variation de y (r, y). Désignons par o>p {x, y) la fonction égale h (f pour les points de ep (notations du § 19), nulle pour les autres points, et par & 'p (a1, y) la fonction égale à j pour les points de e'P) nulle pour les autres points.

On a:

| (*, y) d x d y = v | | <?P {x, y) d x d y + £ J | cp'^ (: r , y) d x d y

f \fp(xj ?/) d x d y est égale mp.m(ep) et, d’après le paragraphe précédent, on a:

J J ?p (x, y)dxdy = J ( | fp (x, y) d y) J A x ,

in f- inf.

J | f'p(x, y)dxdy est comprise entre ?npm(e'p) et wp+, m (e'P)] d’ailleurs si

l’on remplace 't'p par une fonction <//, égale à n?p ou wp+l en tous les points où est différente de zéro, nulle quand f'p est nulle, on modifie l’intégrale de moins de (wpM — n?p)m(ép). De plus les deux expressions

diffèrent aussi de moins de (wp+, — mp) m (e'p).Donc,à moins de2(wpM — wp) m(e p) près, on a :

) | ?'p {x, y) dxd y = J ( J cpp (x, y) d yj d x.

inf. inf.

Soit le maximum de mpn — wp; à moins de 2 y) m (O A CB) près on

aura

| |?(r, y)dxdy = v | ( J* {x, y) d yj d x -f ^ ) | | ? P [x, y) dy j d x.

mf. inf. inf. inf.

Or on a:

|(|? (x, y) dyj d x === 2 j J ( J .p {x, V ) dy^ d x + | ( J fp (x, y) d t/J d x j .

inf. inf. inf, inf. inf inf.

On a donc, quel que soit

inf. inf,

Lebesgue:

De cette inégalité et de l’inégalité analogue relative aux intégrales supérieures, résulte la formule annoncée.

39. Si la fonction donnée est telle que tous les ensembles e'p soient mesurables (/jl, auquel cas on pourra dire que la fonction est sommable (R', la formule se simplifie et devient

I | ? (*i y) d X cl y = ( | J ? (x, y) d //J d x.

b AC b d u

C’est la formule classique. On sait que cette formule doit être remplacée par une formule plus compliquée, analogue à celle que nous avons obtenue, quand on s’occupe de l’intégration, au sens de Riemann, appliquée dans toute sa généralité t *

Parmi les fonctions sommables t B) on peut citer les fonctions continues, les limites de fonctions continues ou fonctions de première classe, les limites des fonctions de première classe ou fonctions de seconde classe, et d’une manière générale toutes les fonctions de classe », n étant fini.

En particulier la formule classique simple est applicable aux fonctions de n variables continues par rapport à chacune d’elles.

Cette formule est aussi applicable aux fonctions f"cy , f‘JX [**) si elles existent et sont bornées.

Donc on a :

f Gr j y) — /*( 0, y) — f(x , 0)4-/ (0, Q)=\[\f'^dy^dx==^\f"9dxdy.

Cette formule résout le problème qui, dans le cas de deux variables, est l’analogue de celui concernant la recherche des fonctions primitives.

40. On peut étendre quelques-uns des résultats précédents aux fonctions non bornées.

Une fonction non sommable non bornée peut avoir une intégrale inférieure et une intégrale supérieure. Sans qu’il soit nécessaire de reprendre les raisonnements précédents on voit (pue l’on a :

J J ? Ou y) dx dy =J ( J 9 (x, y) d y^dx =J ( J f (x, y) d y) d x

inf. inf.

sup. sup.

(*) Voir Jordan (loc. cit.) §§ 50, 57, 58.

(**) Car elles sont de seconde classe an plus.

toutes les fois que les intégrales qui interviennent dans cette formule ont un sens. Il en est de même pour la formule classique

| J?(*. y)dxây = | | |? (x, y)dy}dx.

Les raisonnements employés dans ce chapitre ont conduit à une généralisation de la notion d’intégrale définie.

Pour qu’une telle généralisation puisse servir il faut qu’elle satisfasse à certaines conditions que l’on aperçoit facilement et qu’on peut imposer a priori.

Yoici quelques unes de ces conditions. Il faut que l’on ait :

Il faut que la définition adoptée contienne comme cas particulier celle de Riemann.

11 faut qu’il n’y ait pas de différences notables entre le cas d’une variable et le cas de plusieurs variables.

Enfin, si l’on veut que l’intégration permette de résoudre le problème fondamental du calcul intégral : trouver une fonction connaissant sa dérivée,

il faut que l’intégrale définie d’une fonction dérivée, considérée comme fonction de sa limite supérieure, soit une fonction primitive de

La définition que j’ai adoptée, au moins pour le cas où la fonction à intégrer est bornée, remplit bien toutes ces conditions. Mais ces conditions ne suffisent pas pour définir l’intégrale d’une fonction bornée, (sauf dans le cas où la fonction est une somme algébrique de fonctions intégrables au sens de Riemann et de fonctions dérivées,) de sorte que les méthodes du premier chapitre (*) n’ont pu être employées.

(*) Ces méthodes sont analogues à celles de M.r Drach. (Essai sur une théorie générale de l’Intégration — Introduction à l'Etude de la Théorie des nombres et de l’Algèbre supérieure.)

Voir à ce sujet la note 1, page 48 de l’ouvrage de M.r Borel.

Voir aussi Hadamard. Géométrie Elémentaire , l®re Partie. Note D.

Lebesg u e:

Ne pouvant démontrer que la définition proposée était la seule remplissant les conditions imposées, j’ai essayé de montrer qu’elle était naturelle et qu’au point de vue géométrique elle apparaissait presque comme nécessaire.

J’ai essayé de plus de montrer qu’elle était utile : elle permet en effet de résoudre le problème fondamental du calcul différentiel dans tous les cas où la fonction dérivée est bornée, et, comme conséquence, elle permet d’intégrer des équations différentielles qui se ramènent à des quadratures. Par exemple, f (x) étant une fonction bornée quelconque, nous saurons reconnaître si l’équation :

y' + ay = f {x)

admet des solutions et, si elle en admet, les trouver (*).

Dans les chapitres suivants, où il est question des notions de longueur et d’aire, on trouvera des applications géométriques de l’intégration.