CHAPITRE III

Longueur des courbes.

41. Nous nous proposons dans ce chapitre de définir la longueur d'une courbe plane ou gauche (**).

Ces mots — longueur d’une courbe — sont d’un emploi constant dans le langage usuel. On sait par exemple mesurer la longueur d’une route, d’une rampe d’escalier. Supposons que l’on effectue cette mesure à l’aide d’une règle rigide; le procédé employé montre que l’on appelle ordinairement longueur d’une courbe, ou plus exactement valeur approchée de cette longueur, la

(*) Cette remarque conduit à des problèmes intéressants. Par exemple, f(.r) et » {x) étant bornées, toutes les solutions de l’équation

sont-elles comprises dans la formule classique y = / <p (x) eSf(x)dx d x . e~^f(x'>dx'i

(*'*) Une courbe gauche se définit comme une courbe plane à l’aide de trois équations au lieu de deux.

longueur, c’est-à-dire la somme des longueurs' des côtés de lignes polygonales qui se confondent avec la courbe au degré de précision que l’on peut atteindre.

Lorsque l’on raisonne sur la longueur d’une courbe comme sur un nombre déterminé, on fait l’hypothèse que, par des mesures convenables, on obtient des valeurs approchées ayant une limite que l’on appelle la longueur de la courbe considérée.

La longueur d'une courbe C

* = /(<)» y = rï(t), z = <p(t)

est ainsi définie comme limite des longueurs de lignes polygonales tendant uniformément vers la courbe, c’est-à-dire que les coordonnées de la pième de ces lignes Cp s’expriment par

x — !p{t)i y — <jpp (0» z — ip (0)

fp, cj)p, tpp tendant uniformément vers f, f, <p.

Nous dirons que C est la limite des Cp.

Si, quelle que soit la suite de lignes polygonales tendant vers une courbe C, la suite correspondante des longueurs avait une limite, qui serait par conséquent indépendante des lignes polygonales choisies, ce qui précède suffirait à définir la longueur de la courbe C. Mais il n’en est pas ainsi et l’on peut choisir les lignes polygonales de façon que leurs longueurs augmentent indéfiniment.

Donner une définition de la longueur d’une courbe, c’est donc dire quelle suite de lignes polygonales on choisit.

D’après M.1’ Peano (#), les postulats qu’admettait Archimède équivalent à la définition suivante :

La longueur d’un arc de courbe plane convexe est la valeur commune de la limite supérieure des longueurs des lignes polygonales inscrites et de la limite inférieure des circonscrites.

Archimède démontre d’ailleurs l’identité des limites dans les cas qu’il étudie.

La définition ordinairement adoptée est la suivante :

(*) Atti délia Reale Accademia dei Lincei. Rendiconti 1900, l.° Semestre.

Lebesgue:

La longueur d’un arc de "courbe est la limite vers laquelle tend la longueur d’une ligne polygonale inscrite dans la courbe quand le nombre des côtés de cette ligne augmente indéfiniment de façon (pie la longueur maximum des côtés de cette ligne tende vers zéro (*).

M.r Peano adopte la première partie de la définition d’Archimède: la longueur d’une courbe est la limite supérieure des lignes polygonales inscrites.

L’identité de ces définitions se démontre facilement, elle résulte d’ailleurs des résultats que nous allons obtenir.

42. Si l’on veut qu’il y ait quelque analogie entre le sens vulgaire et le sens mathématique du mot longueur, il ne faut essayer de définir la longueur d’une courbe C, que s’il existe une suite de lignes polygonales ayant C pour limite et telle que la suite correspondante de longueurs n’augmente pas indéfiniment. Nous appellerons ces courbes, courbes rectifiables.

Pour définir la longueur de ces courbes, rappelons d’abord quelques définitions.

Soit un ensemble de suites de nombres. Les valeurs qui forment l’une de ces suites forment un ensemble E, l’ensemble dérivé de E est l’ensemble de toutes les limites de la suite considérée. L’ensemble des ensembles E' ainsi définis est l’ensemble des limites des suites de l’ensemble considéré; la limite supérieure de cet ensemble est ce que l’on appelle depuis Cauchy la plus grande- des limites. On définit de même la plus petite des limites.

Ces deux nombres, que l’on appelle aussi quelquefois limites supérieure et inférieure d’indétermination, peuvent être infinis.

Soit une courbe C, considérons l’ensemble des suites formées des longueurs des lignes polygonales tendant uniformément vers C.

La plus grande des limites de l’ensemble est infinie. Il en est de même de la plus petite si C n’est pas rectifiable. Au contraire si C est rectifiable la plus petite des limites est finie.

Nous appellerons longueur d'une courbe C, la plus petite des limites vers lesquelles tendent les longueurs des lignes polygonales tendant uniformément vers C.

Une courbe rectifiable a une longueur finie.

(*) Les conséquences de cette définition ont été particulièrement étudiées par Ludwig Scheeffer [Acta Mathematica , tome V) et par M.r Jordan dans la seconde édition de son cours d’Analyse. Voir aussi Study. Mathematische Annalen , XLV.

Une courbe non rectifiable n’a pas de longueur, ou si l’on veut a une longueur infinie.

43. Soit une courbe C d’extrémités A et B. Toute ligne polygonale

dont les extrémités tendent vers A et B a une longueur qui ne peut tendre vers un nombre inférieur à la longueur de A B. C’est-à-dire que la longueur d’un arc de courbe n’est pas inférieure à la longueur de la corde.

Marquons sur l’arc A B entre A et B un point D. L’arc A B est dit la somme des arcs A D et D B et la longueur de l’arc /( B est évidemment la somme des longueurs des arcs A D et D B. Donc la longueur de l’arc A B n’est pas inférieure à A D D B.

En raisonnant ainsi on voit que la longueur de l’arc est supérieure ou au moins égale à celle d’une ligne polygonale quelconque inscrite (*).

Considérons une suite de lignes polygonales inscrites, telles que le maximum de la longueur des côtés tende vers zéro. Ces lignes tendant uniformément vers la courbe, la plus petite limite de la suite correspondante des longueurs n’est pas inférieure à la longueur de la courbe C. Mais d’après ce que nous venons de voir tous les nombres de cette suite sont au plus égaux à la longueur de C; la plus grande limite est au plus égale à cette longueur.

Donc la suite des longueurs considérées a pour limite la longueur de C et il y a identité entre la définition que nous avons adoptée et la définition classique, celle de Scheeffer et de M.r Jordan.

Nous avons en même temps démontré l’identité de cette définition et de celle de M.r Peano.

En adoptant la définition qui a été donnée, on obtient une analogie complète entre les définitions des longueurs et des aires. L’identité de cette définition et de la définition classique nous permet de trouver la longueur par une infinité dénombrable d’opérations.