Nous disons qu’une courbe C

est la limite d’une famille de courbes Cp

Cp x = fp (£', y = Çp (t), z — (C,

si fp , ce p, tendent uniformément vers f <p,

(*) On suppose bien entendu que, dans l’ordre où ils se présentent sur la ligne polygonale, les sommets de cette ligne correspondent à des valeurs croissantes de t.

Lebesgue:

De ce qui précède résulte que la longueur de C est au plus égale à la plus petite limite des longueurs des Cp, et qu'il existe des familles de courbes Cp telles que la longueur de C soit la limite des longueurs des Cp. C’est ce que nous exprimerons en disant que la longueur d’une courbe C est la plus petite limite des longueurs des courbes dont C est la limite {*). On peut donc poser ainsi le problème de la mesure des longueuis des courbes.

Attacher à chaque courbe un nombre positif fini ou infini que l’on appellera sa longueur et satisfaisant aux conditions suivantes: