Deux courbes égales (**) ont même longueur

3. ° Une courbe somme de deux autres (***) a pour longueur la somme des longueurs de ces deux autres.

4. ° La longueur d’une courbe C est la plus petite limite des longueurs des lignes polygonales dont C est la limite.

45. Soit C une courbe rectifiable, la longueur (0, t) de l’arc s{t) est une fonction croissante de t. Donc les quantités s [9 — 0), s {9 -f 0) existent. Considérons la courbe C (g) formée de l’arc (0, 9 — g) de la droite 0 — g, Q -f £ et de l’arc (9 -f g, 9 -{-h). Quand s tend vers zéro C (s) tend vers C. Or la longueur de C (g) est

s (9 — Q + [s [6 + h) — s [9 -f £)] + long [9 — g, 9 + e].

En faisant tendre g vers zéro, on déduit:

d’où il résulte s (9 + 0) = s (9 — 0) et s (t) est une fonction continue de t.

Il existe des courbes dont aucun arc n’est rectifiable. Il en est ainsi,

(*) Si l’on considère la longueur comme fonction de la courbe, on peut dire que la fonction est partout égale à son minimum ou encore semi-continue inférieurement (B aire, loc. cit.).

(**) Deux courbes sont égales si l’qn passe des formules qui définissent la première à celles qui définissent la seconde par les formules du changement de coordonnées.

(*s*) Si les deux courbes composantes sont données par x = f(t), y = » (t), z = 4 (l), u — t — 9 et x = f\ (t), y = cp, (t), s = 4, (t), avec f(b) -fiad, ? (b) = * («,),

4 'b) — 4 (fiq). La courbe somme est définie par x — F (l), y — *1* (£), 2 = V (t) avec F = /; <I> — ®, 't' = 4, si fl== t^b et F(l -t- h — a é) = fx (t), <ï> (l + b — cix) = o, (t), 4" Ù + 6 — af) — 4i (0 si b ^ t ^ b + bx — a1 .

pour certaines valeurs de a et de £, de la courbe

oo

x = ^ bn cos an r. t, y = 0, z — 0 (*).

Soit une courbe F somme d’une courbe rectifiable C et d’une courbe C, dont aucun arc n’est rectifiable. Si C correspond à l’intervalle (0, 0), s ( t ) est une fonction continue croissante entre 0 et 5, puis pour t supérieur à 6 cette fonction devient infinie.

46. Nous appellerons projection de la courbe (1) sur l’axe des x la

courbe

et sur le plan des x y la courbe

A un polygone inscrit dans la courbe (1) correspond un polygone inscrit dans la courbe projection.

Chaque côté d’un polygone projection est au plus égal au côté projeté, donc les 'projections d'une courbe rectifable sont rectifiables.

D’ailleurs un côté projeté a une longueur au plus égale à la somme des longueurs des trois côtés projections sur les trois axes de coordonnées, donc si une courbe a des projections rectifiables sur les trois axes de coordonnées elle est rectifiable.

47. Cherchons la forme la plus générale de la fonction f (t) pour que la courbe x = f (t) portée par l’axe des x soit rectifiable.

Considérons un polygone inscrit dans cette courbe, ses sommets correspondent aux valeurs croissantes a — t0 , t, . . . fn — b de t. La longueur de ce polygone est 2\f(tj — /‘(^•-,)|, cette quantité s’appelle encore la variation de f pour le système de valeurs f„, t,...tn.

Cette somme se décompose en deux autres 2,, 2*. La première correspondant aux termes f (té) — /’(£,•, ) qui sont positifs, la seconde aux termes négatifs. On les appelle variation positive et variation négative de f pour le système t0 , t{ . . . tn.

Supposons que a et b restant fixes, le nombre des tL augmente indéfiniment de manière que le maximum de t, — ti~l tende vers zéro. Dès que ce

(*) Voir Jordan, (loc. cit.), page 318.

Lebesgue:

maximum est inférieur à un certain nombre >9, 2,4-2* diffère de la longueur de l’arc de a à b de moins de e, si cette longueur est finie, et est plus grande que üf, si la longueur de l’arc de a à b est infinie; sans quoi il serait possible de trouver une suite de polygones inscrits tendant vers la courbe et dont les longueurs ne tendraient pas vers celle de la courbe (*). Donc 2,4-2* a pour limite la longueur de l’arc (a, 6); cette quantité s — v s’appelle la variation totale de f entre a et b. Si cette variation est finie, la fonction f est dite à variation bornée entre a et b. Si la variation est infinie la fonction est à variation non bornée.

2, — 2* est toujours égale à f(b) — /’(«), donc a pour limite f(b) — f (a).

De là il résulte que 2, et 23 ont des limites parfaitement déterminées p et n que l’on appelle la variation positive et la variation négative de f entre a et b ; et l’on a:

Nous avons vu que si a est fixe, v est une fonction continue de b pour les fonctions à variation bornée. De ces formules il résulte que p et » qui sont des fonctions croissantes, ou du moins jamais décroissantes, sont des fonctions continues. La formule

montre que toute fonction continue à variation bornée est la différence do deux fonctions continues non décroissantes.

Pour une fonction continue croissante n est nulle, donc une fonction croissante est à variation bornée. D’ailleurs si

donc la différence de deux fonctions à variation bornée est une fonction à variation bornée.

Il y a donc identité entre les fonctions à variation bornée et les différences de fonctions continues non décroissantes (**).

(*) En d’autres termes si des polygones inscrits T tendent vers C la longueur de T tend uniformément vers celle de C.

(**) On peut dans cet énoncé supprimer le mot continues , (voir à ce sujet Jordan, loc. cit.'.

Intégrale , Longueur , ^4îVe.

Si

sont les équations d’une courbe rectifiable, f, y, sont des différences de deux fonctions continues non décroissantes et inversement.