Voici des exemples de fonctions à variation bornée

Soit dans l’intervalle (0, 1) un ensemble dénombrable de couples de points b{ tels qu’entre o,- et &,• ne se trouve aucun point a ou b d’indice

inférieur à i.

Désignons par f0(x) la fonction x, et par fp(x) la fonction continue qui admet a,, a2,... ap , bn b.n... bp pour maxima ou minium, qui entre deux de ces points est de la forme ± x 4 h et qui est égale à /'„ (æ) entre 0 et le premier des points d’indice au plus égal à p.

On voit immédiatement que le maximum de \ fp (x) — fp {(x) | s’obtient pour x = bp et est égal à 2 | fp-t (ap) — /p, ( bp ) I = 2 ep, si sp désigne la longueur apbp.

Donc si la série 1 ep est convergente fp(x) tend uniformément vers une limite f(x ); et comme fp (x) a entre 0 et x une variation totale égale à x , celle de f(x) est au plus x.

Pour les points d’indice au plus égal à p on a:

7i=oo

I f(x) — — ^ 1 eP^h-

La variation de f{x) pour le système an...ap, bn...bp est donc supérieure à

x 4 p 2 îp f h

donc si plep¥h tend vers zéro avec y, f (x) a x pour variation totale entre 0 et x.

Soit un intervalle (a, /3), si, les conditions précédentes étant remplies, l’ensemble des ap est partout dense on peut trouver dans (a, 0) un intervalle («p, bp). Supposons qu’entre ap et bp fp(x) soit de la forme æ -f - hiy on a:

f(J>P) — fM = fP ( bP ) - fP M + 1/ (M — fP (Ml +

7f=oo

+ [fp ( aP ) — f (rti>)] — ep 4 ^ ep+h ;

donc si, au moins à partir d’une certaine valeur de p , on a;

Lebesgue :

f(x ) n’est pas toujours décroissante de ap à bp et a fortiori de a à /3. Mais de même on prouverait qu’elle n’est pas croissante, donc dans tout intervalle f(x) admet des maxima et des minima.

Pour réaliser toutes ces conditions prenons pour l’ensemble des milieux des (ai, bi) l’ensemble des nombres rationnels rangés dans un ordre quelconque. Prenons pour e, un nombre irrationnel quelconque, tel que «, et b , soient

compris entre 0 et 1. Prenons pour e; le plus petit des nombres

. . . tels que «,• et bi soient compris entre 0 et 1 et qu’entre a,- et bi ne

se trouve aucun des points a,, b,, b2 . . . bi-

Nous définirons ainsi une fonction dont la variation totale entre 0 et æ

est x et qui a dans tout intervalle des maxima et des minima.

Traçons par rapport à deux axes rectangulaires la droite z = x. Soient

Ai, Bi les points de cette droite dont les abscisses sont b

Plions la feuille de papier sur laquelle nous avons tracé z = x d’abord suivant la parallèle à 0 x passant par A, puis suivant la parallèle à 0 x passant par B, , nous réalisons la courbe z — f, (x). En pliant de nouveau le papier autour des parallèles à 0 æ passant par A2 et B2 on réalise z = f2(x) et ainsi de suite.

Donc, avec une précision qui 11’est limitée que par la possibilité d’effectuer le pliage, on peut réaliser les courbes z = f(x) que nous venons de définir. On peut même démontrer qu’en choisissant convenablement les A{, B , on peut réaliser toute courbe z — f(x ) de variation totale entre 0 et x égale à x.

49. On sait que, dans le cas simple où les fonctions /', y , ont des dérivées continues on peut représenter la longueur par une intégrale. Yoici une première généralisation simple. Nous supposons que f', <j>', <p' existent, soient bornées et intégrables au sens de Riemann.

Soit A B une corde, dont les extrémités correspondent aux valeurs t( , ti+i du paramètre. On a:

Longueur A B = \Jf(ti+l ) —f{u) + <p (*;+1) — + <K*«+i) — (*)•

Désignons par ni,, M, ; m2, M2\ m3 , M3 les limites inférieures et supérieures de \f' (£)|, | r (t)\, 1 ip' (t) [ entre ti et .

(*) Nous supposons les axes rectangulaires.

Le théorème des accroissements finis montre que

(ti+i — t;) \/w* -f m\ -f ni\ Long A B ^ \iM\ -f- -p Ml (t, — /■).

Soit une division tu , /,... /„ de l’intervalle de variation de il lui correspond un polygone inscrit 1J et l’on a:

5 (/• + , — /,■) -f- m| -f- >«3 — Long P ^ 1 (/• +, — <*) v il/ ; + il/* + 3/ j .

Si entre les t, choisis on intercale de nouvelles valeurs de t, la première somme augmente la troisième diminue, donc elles tendent vers des limites quand on fait tendre vers zéro ti+l — t{ ; d’ailleurs ces deux limites sont égales car la différence entre le premier et le troisième membre est au plus

2 (<i+l — ti) [(il/, — mi) + (il/* — mi) -f (M3 — m3)\

quantité qui tend vers zéro car \f \, | [, | p' | sont intégrables puisque f",

'A, p', le sont.

L’expression

2 (t, + , p (l) + r'W + TO ( ‘ - *4^)

est comprise entre la première et la troisième somme, sa limite est l’intégrale

qui représente donc la longueur de la courbe.

50. Servons nous maintenant des résultats obtenus dans le chapitre précédent.

Si f, (j>\ p' existent et si la courbe est rectifiable, ces dérivées admettent des intégrales et il en est par suite de même de \i f 2 y2 p'2. Réciproquement si cette quantité admet une intégrale, il en est de même de f', y, p’, car l’on a:

y/f’ + T' + f* MH.

et la courbe est rectifiable.

Nous n’avons donc à nous occuper de l’ intégrale de \J f'2 -f- y 2 + p'2 que pour les courbes rectifiables. Pour démontrer que cette intégrale représente la longueur de la courbe nous raisonnerons comme dans le chapitre précédent.

Divisons les intervalles de variation (finis ou non) de f, y, p' à l’aide de nombres Il en résulte une division en ensembles de l’intervalle de variation de t ,

Lebesgue:

Pour ceux que nous nommerons on a:

tnt < f < mi+l tn'j < ÿ < m,-+i ntk < f < , .

Pour ceux que nous nommerons éajk , la première de ces inégalités est remplacée par:

nu = f .

Nous aurons de même dans ces expressions a est un symbole

indiquant celle des inégalités qui est remplacée par une égalité et non l’un des nombres entiers.

Nous aurons encore les ensembles les deux premières inégalités sont remplacées par

— f\ mj = y.

Enfin nous aurons des ensembles eijk pour lesquels f'j y', <|/ seront égales à m,, Mj, ni h •

Tous ces ensembles sont mesurables; en choisissant convenablement les ni, tous ces ensembles, sauf les eiJk, seront de mesure nulle.

A chaque point t0 de eijk nous pouvons faire correspondre le plus grand intervalle possible (a, (S) de longueur inférieure à a ,jh , ayant t0 pour milieu et tel que

entraîne

ni,

<C ni

ni j <

nih <

< mju

<C Mk+i •

Soit Eijk{oijk) la somme de ces intervalles. Faisons tendre aijk vers zéro, l’ensemble Eijh des points communs à tous les E;jk{aijk) a même mesure

que eijk.

A chaque point t0 de &ajk nous pouvons faire correspondre le plus grand intervalle possible (a, /3) de longueur inférieure à Oajh , ayant t0 pour milieu

et tel que entraîne

mi - eijk < f^\ - < m, + èujk

Wj

< »ij H

Soit E‘njk {oljk) la somme de ces intervalles.

Faisons tendre simultanément a'0jk et £'yt vers zéro, l’ensemble E'ujh formé des points communs à tous les E1^ (a,’y(f), a même mesure que etajk . On définira de même E!jîa (o#*).

Si W; h — ni, est, quel que soit inférieur à >? l’intégrale de \ / 2 + ^ 8

est égale à

v \l ni] -F m) + m\ [m (e,jk) + m (e,^) . . . + m (««*;]

ijh

à moins de 2 >j / près, l’intégrale étant étendue à un intervalle de longueur L Or on peut choisir les nombres a et e assez petits, pour que cette somme diffère aussi peu qu’on le veut, de moins de Z), de

V= v sjm] -f- ni] + m}. I m [E jk (v,jk)] + ni [E:rj/, (a,y7i)] 4 . . • 4* «* [Ev* (a^)] ■

■ yfc L

Parmi les intervalles formant les E on en peut choisir un nombre fini de manière que tout point de l’intervalle considéré soit intérieur à l’un des intervalles conservés et que les extrémités de l’intervalle considéré soient des extrémités d’intervalles conservés.

Nous supposerons ces intervalles conservés A choisis de façon qu’aucun d’eux ne soit à l’intérieur d’un autre. La contribution dans V des intervalles non conservés est inférieure à D.

Considérons deux intervalles conservés («, b), (a,, />,) empiétant l’un sur l’autre et soit

a < «i < b < bt ;

supposons qu’ils correspondent à E,jk (v,jk) et E/yu (a,yk ')• Entre a, et b on peut trouver un point c tel que entre a et c se trouve un point au moins de e,jk et entre c et b{ un point au moins de e,<yk ; en effet s’il en était au-

Lebesgue :

trement c’est que tous les points de e,jk et et<j'k’ contenus dans a b, seraient entre a et b (ou entre a, et &,) et en prenant dans a, b deux points a et (3 suffisamment voisins de a et b on aurait à la fois

et les inégalités analogues. Or on n’a pas à la fois i = i , j = j\ k = k'.

Nous remplacerons les intervalles (a, b), (a,, b,) par (a, c), ( c , b.,). On aurait pu faire de même pour des intervalles correspondant à E\,jh , E‘k]a...

Il n’y a de difficulté que si les trois indices sont identiques, c’est-à-dire par exemple si les deux intervalles correspondent à E\,jk , Ef'\ auquel cas on prendra comme point c un point quelconque de (a,, b).

En continuant ainsi on remplace les intervalles A par des intervalles À n’empiétant plus les uns sur les autres. La contribution dans V des intervalles A — A' est inférieure à D.

Considérons maintenant la ligne polygonale inscrite dans la courbe et dont les sommets correspondent aux extrémités de A'.

Le côté de cette ligne qui correspond à l’intervalle (a, (3) a une longueur égale à (/3 — a) \/ m) -j- m] -j- m% à moins de

3 >7 (/S — a) OU (2 Y] + e'„j,c) (/3 — a) OU (>? -J- 2 e}ja) (/3 — - a) . . .

près, suivant que (a, (3) correspond à E,jk, E\Ijk , Er ■ . •

Si donc les e sont choisis assez petits, la longueur de la ligne polygonale diffère de la contribution de A dans V de moins de 3 yl.

Ainsi, en choisissant convenablement les nombres >?, <j, s, le procédé que nous venons d’indiquer conduit à considérer une ligne polygonale inscrite dans la courbe, dont les côtés sont aussi petits que l’on veut, et dont la longueur est aussi voisine que l’on veut de l’intégrale

JVr + *'■ +T5 <« <•

Cette intégrale représente donc la longueur de la courbe.

51. Les raisonnements que nous venons d’indiquer sont analogues à

ceux des paragraphes 30, 31. D’une façon plus générale, à tout raisonnement

de la deuxième partie du chapitre II, on peut faire correspondre des raisonne1-

Intégrale , Longueur , yl/re.

ments relatifs à la rectification des courbes. Nous allons indiquer ce qui est l’analogue de la proposition du paragraphe 35.

Datis ce paragraphe il a été démontré que si les nombres dérivés d’une fonction fit) sont bornés et si les //,• sont des nombres positifs tendant vers zéro on a :

ff(t + h)-ftt)

(l) él t < Limj

lu

dt<Ua{t)dt.

Un raisonnement analogue prouve que, si l’on désigne par Dd et da la plus grande et la plus petite des deux quantités |A^J et | ld |, on a:

I | f (t 4- hî) — / ( t )

ddd t < Lim et aussi que les limites de

lu

j ./ {t + lu) — fit)

hi

A a ( t ) ! d t et

fit 1 h) —fit) h ;

ld(t) dt

sont inférieures à j (Dd — dd) d t.

Ceci posé soit C(h,) la courbe

F U F lu) — Fit) lu

•l> ( t -f hi) - <l> (t) Tu

hi

F [t), H7 (t) étant les fonctions primitives de f(t ), f (£), <p (t) dont nous

supposons les nombres dérivés bornés. C (//,) a pour longueur

hi J

[/ if + F) — t U)]2 + [? {I + ht) — f (OP + \ÿ{t •+ h) — Iit)\: d /.

Quand h, tend vers zéro les limites de l, sont comprises entre

Dd (/ ) -f- Dd (ç) -f~ Dd (<P) d t

et

\j da 1 f ) -fi- dd ('f) -f dd (<p) d t.

Nous supposerons que ces deux intégrales ont la même valeur, alors /,• tend vers une limite déterminée que nous allons démontrer être la longueur de C.

Si ces deux intégrales ont la même valeur c’est que les couples d’intégrales | Dd à ’t et \dddt ont aussi les mêmes valeurs et ces intégrales représentent les variations totales de f <p, ÿ. D’ailleurs comme l’on a :

Dd — dd ^ A d — ld — 2 I)d ,

Lebes gue:

les couples d’intégrales ^Kddt et j la d t ont aussi les mêmes valeurs et

réciproquement.

De sorte que l’on a :

Dddt = (ddd ^ =J | Aa| dt =J | ld | d t.

Considérons une ligne polygonale inscrite dans C (/q) correspondant à

to 1 1 ... tn

et la ligne analogue inscrite dans C. Soient A; B; d’une part, AB d’autre part deux côtés correspondants (/*, t *+.,). Les projections du premier sur les trois axes sont

fit + h)— f{t) hi

dt, [ rd + id-t(t)dt) j ■;

t1 (J hi) — (f)

hi

celles du second sont

|a d(f)dt, |a d((f)dt, |a d(ÿ)dt.

La différence entre les longueurs de ces deux côtés est donc au plus égale à la somme des valeurs des trois intégrales analogues à

lct+\

î (t + hi) — f(t ) hi

- Ad (f)

dt ' .

Donc la différence des longueurs entre les deux polygones considérés est au plus

fit + hi) — / (t) ht

~ Ad (f)

Or chacune des trois intégrales de cette somme tend vers zéro avec lu donc la longueur de C; a pour limite la longueur de C.

Pour énoncer ce résultat donnons la définition suivante: Soit f (t) une fonction continue, nous appellerons dérivée à droite f'd ( t ) une fonction définie

pour t — t0 comme égale à l’une quelconque des limites vers lesquelles tend

f(to + h) — / (/o)

quand h tend en décroissant vers zéro.

La dérivée à droite est en général indéterminée. Nous venons de démontrer que :

Si les dérivées à droite f'd{t ), ÿ'd(t) sont bornées et si l’in¬

tégrale

Jv fdW+ Y7W +TdW d t

a une valeur bien déterminée, indépendante des dérivées à droite choisies, cette intégrale est la longueur de la courbe

52. La proposition précédente est une généralisation du résultat classique concernant la représentation de la longueur d'une courbe ayant des tangentes variant d’une façon continue.

Ce résultat classique étant connu, si l’on s’était proposé de généraliser analytiquement la notion de longueur, la proposition précédente aurait pu être prise pour définition; on voit que la longueur ainsi définie ne dépend pas du choix des axes de coordonnées et, en particulier, reste la même si l’on remplace les dérivées à droite par des dérivées à gauche.

Cette définition ne s’applique qu’à des courbes rectifiables. Il serait intéressant de rechercher à quelles courbes rectifiables elle s’applique ou si elle concerne toutes les courbes rectifiables. Si, pour exprimer les points d’une courbe rectifiable, on prend comme paramètre t la longueur de l’arc, on a des fonctions f. , a, i p dont les nombres dérivés sont bornés; la proposition du paragraphe précédent s’applique toutes les fois que l’ensemble des points pour lesquels l’une des différences telles que A d (f) — 1-d (/) est différente de zéro a une mesure nulle.

Lebes g ue: