CHAPITRE IV

Aire des Surfaces.

53. Les mots aire d'une surface désignent dans le langage usuel l’aire, c’est-à-dire la somme des aires des faces, de surfaces polyédrales confondues avec la surface considérée au degré de précision que l’on peut atteindre.

En géométrie on considère souvent l’aire d’une surface 5 comme la limite des aires de certaines surfaces polyédrales ayant S pour limite; définir l’aire c’est alors dire quelle suite de polyèdres l’on considère.

Par analogie avec la définition de la longueur d’une courbe, on a tout d’abord considéré les polyèdres inscrits. C’est ainsi que, d’après M.r Peano (#), les postulats qu’admettait Archimède équivalent à la définition suivante:

L’aire d’une surface convexe est la valeur commune de la limite supérieure des aires des surfaces polyédrales convexes inscrites et de la limite inférieure des circonscrites; — d’ailleurs, dans les cas qu’il étudie, Archimède démontre la coïncidence des deux limites.

Pendant longtemps on a admis que l’aire d’une surface pouvait être définie comme la limite des aires des surfaces polyédrales inscrites (**), le maximum de l’aire des faces et le maximum de la longueur des arêtes tendant vers zéro. Mais Schwarz dans une lettre à Genocchi a montré que les aires des surfaces polyédrales inscrites dans un morceau fini de cylindre de révolution n'avaient pas de limite supérieure. La même observation a été faite par M.r Peano, dans ses leçons de l’Université de Turin en 1881-82, avant la publication de la lettre de Schwarz dans le cours professé à la Faculté des Sciences pendant le second semestre 1882 par Ch. Hermite (second tirage, p. 25).

Si l’on veut définir l’aire par la considération de polyèdres inscrits il faut donc assujettir ces polyèdres à des conditions supplémentaires. On s’est

(*j Atti délia Iieale Accademia dei Lincei , Rendiconti 1890.

(**) Aux sommets d’une surface polyédrale inscrite on peut faire correspondre les points du plan (u, v) auxquels correspondent les sommets en tant que points de la surfice proposée. A chaque face du polyèdre correspond ainsi un polygone du plan ( u , nous supposons ici et dans tout ce qui suit que ces polygones n’empiètent pas les uns sur les autres.

quelquefois astreint à ne considérer que les polyèdres dont les angles des faces ne tendent pas vers zéro ou des polyèdres dont les angles des faces avec les plans tangents tendent vers zéro [*). La plupart des restrictions que l’on a ainsi considérées se sont trouvées insuffisantes pour qu’il existe une limite; d’ailleurs elles sont si particulières que, seule, l’existence de la limite légitimerait leur considération.

54. Il nous reste à citer deux définitions (**) dues à Hermite et à M.r Peano. Elles présentent ce caractère commun de ne plus reposer sur la considération de polyèdres inscrits et d’admettre, comme généralisation de la division d’une courbe en arcs partiels, la division d’une surface en morceaux par des contours fermés.

Hermite (***) considère une surface z = f(x, y) ayant des plans tangents variant d’une façon continue. Soient un contour d du plan des x y , ni un point intérieur à ce contour, M le point de la surface qui lui correspond, D le contour situé dans le plan tangent en M à la surface qui a pour projection d et D le contour de la surface qui se projette en d. K D on fait correspondre l’aire de D (on suppose d quarrable). Ceci posé on divise la surface en morceaux; la somme des nombres attachés aux contours employés est une valeur approchée de l’aire. L’aire est la limite de ces valeurs lorsque le nombre des morceaux augmente indéfiniment de manière que le diamètre maximum de ces morceaux tende vers zéro. (L’existence de la limite suppose que le contour considéré limitant la surface n’est pas quelconque; il en était de même pour les définitions précédentes.)

La définition d’HERMiTE fait donc intervenir explicitement les axes de coordonnées, de plus elle n’est [tas la généralisation de la définition de la longueur par la considération des polygones inscrits.

(*) Voir au sujet de ces essais de définition la note déjà citée de M.r Peano.

(**) Dans un article récent (Ueber die Begriffe Lange , Oberflâtchc und Volumen — Jahresbericht der Beutschen Mathematiker • Vereinigung 1901) M.r Minkowski adopte pour la longueur et l’aire les définitions suivantes.

De chaque point d’une courbe C comme centre traçons une sphère de rayon r l’ensemble des points intérieurs à l’une au moins de ces sphères est mesurable, soit V (r) sa

mesure; la limite, si elle existe, du rapport

quand r tend vers zéro est dite la

longueur de C. De même si V(r) est la mesure de l’ensemble des points dont la distance

à l’un des points d’une surface S est inférieure à r, la limite de

défiiîit l’aire de S,

(***) Loc. cit.

Lebesgue:

La définition de M.r Peano ne présente pas ces inconvénients. Soit une courbe gauche fermée C , on démontre, au moins dans les cas simples, qu’il existe une courbe plane fermée c telle que sur tout plan les projections orthogonales de C et c limitent des aires égales (*) ; à chaque courbe C on attache le nombre qui représente l’aire du domaine plan limité par c. De même dans la définition de la longueur, à chaque arc partiel on attache la longueur du segment qui joint ses extrémités, c’est-à-dire la longueur du segment qui sur toute droite a même projection orthogonale (**) que l’arc. Ceci posé divisons une surface par des contours fermés ; à chaque division nous faisons correspondre la somme des nombres attachés aux contours employés. M.r Peano appelle aire la limite supérieure de la somme de ces nombres.

55. Toutes ces définitions, celle due à M.r Peano exceptée, supposent l’existence de la limité d’une suite de nombres et l’existence de cette limite n’est démontrée que pour les surfaces ayant des plans tangents variant d’une façon continue. Or, dans ce cas, il ne s’agit pas d’attacher à chaque surface un nombre, mais bien d’attacher à chaque surface des domaines plans dont la somme des aires définissent comme limite ou limite supérieure ou limite inférieure un nombre égal à l’intégrale double Jj> G — F* d it d v] toute définition géométrique qui ne conduirait pas à ce nombre consacré par l’usage serait en effet rejetée. Une définition de l’aire qui ne s’applique qu’aux surfaces ayant des plans tangents variant d’une façon continue, peut faire connaître une propriété géométrique intéressante, mais n’est pas une véritable définition de l’aire, le nombre à définir étant connu avant la définition.

56. La définition due à M.r Peano s’applique à toutes les surfaces dont la frontière est un de ces contours C auxquels on peut faire correspondre des contours plans c, comme il a été dit plus haut. Mais cette définition n’est vraiment intéressante que si l’on peut sur la surface tracer assez de ces contours C pour qu’il soit possible de diviser la surface en morceaux de diamètres aussi petits que l’on veut et dont les frontières sont des courbes C ;

(*) Si la projection de C a des points multiples, l’aire limitée par C doit être comptée

comme si elle était exprimée à l’aide de l’intégrale curviligne — j xdy — yclx.

(*■■■) Il ne s’agit pas ici de la courbe projection mais de la distance des deux extrémités de l’arc projection.

dans ce cas seulement l’aire dépend de la forme de toutes les parties de la surface. Cette condition est remplie par exemple si la surface a des plans tangents variant d'une façon continue.

Prenons ce cas, les courbes C forment un ensemble dont la puissance est celle du continu, alors l’aire est définie comme limite supérieure d’un ensemble de nombres dont la puissance est celle du continu.

Pour calculer l’aire il faut, dans cet ensemble, isoler une infinité dénombrable de nombres tendant vers la limite supérieure; on peut démontrer que si l’on considère une suite de divisions de la surface par des contours C1 le diamètre maximum de ces contours tendant vers zéro, les nombres correspondant à ces divisions tendent vers l’aire. Mais il n’est pas évident que l’on puisse toujours atteindre par une infinité dénombrable d’opérations le nombre que définit M.r Peano; ajoutons qu’on ne connaît rien d’autre sur ce nombre que son existence.