Une surface étant définie par

(«, v) étant un point d’un domaine plan D.

On ne considère pas comme différentes celles que l’on obtient en exprimant w, v en fonction des coordonnées , v, des points d’un domaine I), ; entre D et Dt existe une correspondance ponctuelle biunivoque et continue. On dit que l’on a deux représentations paramétriques de la même surface.

L’ensemble des points qui correspondent à la courbe qui limite le domaine D forme la courbe frontière de la surface (*).

Deux surfaces sont dites égales si l’on passe de l’une à l’autre par les formules du changement de coordonnées.

Une surface S est dite somme de surfaces S en nombre fini ou non, si le domaine D du plan des (?<, v) auquel correspond S est somme des domaines Di auxquels correspondent les Si et si* la portion de S qui correspond à Di est identique à Si.

Une surface S est dite la limite de surfaces Sp données par des fonctions fp , <j >p, t pP7 si fv , <pp, ÿp sont définies dans le même domaine que /, y, <p et tendent uniformément vers f , <jp, ip.

(*) Nous réservons donc le nom de surface à ce que l’on appelle ordinairement une calotte à un seul contour, simplement connexe. — Il faudrait répéter pour les points d’une surface ce qui a été dit au chapitre I pour les points d’une courbe.

Lebes gue :

Ceci rappelé, par analogie avec le problème de la mesure des courbes, nous posons ainsi le problème de la mesure des surfaces.

Attacher à chaque surface un nombre positif fini ou infini que Von appellera son aire et satisfaisant aux conditions suivantes: