Deux surfaces égales ont même aire
3. " Une surface somme de plusieurs autres a pour aire la somme des aires des surfaces composantes.
4. ° L’aire d'une surface S est la plus petite limite des aires des surfaces polyédrales dont S est la limite.
Les trois premières conditions suffisent, nous l’avons vu, quand on ne considère que des domaines plans. Le problème n’est possible que pour les domaines limités par des courbes quarrables.
Remarquons d’ailleurs qu’il importe peu de modifier ainsi la troisième condition du problème :
3 bis. Une surface somme de deux autres a pour aire la somme des aires de ces deux autres.
Les conditions 1, 2, 3 bis suffisent en effet pour les domaines quarrables. Soit maintenant un domaine non quarrable, il est limite de domaines quarrables dont les aires tendent vers la mesure des points du domaine (*); avec M.1 Jordan nous appellerons ce nombre l 'aire intérieure du domaine non quarrable. La condition 4 montre que l’on doit appeler aire l’aire intérieure, mais alors la condition 3 bis n’est pas remplie (**)•
Le problème des aires ainsi posé n’est donc possible que pour les domaines quarrables. Il est bien entendu que cela ne veut pas dire que le problème des aires est impossible pour tout autre famille de domaines que celle des domaines quarrables. Il est bien évident par exemple que le problème des aires est possible pour toute famille comprenant un nombre fini de domaines déterminés en grandeur et en position, que ces domaines soient quarrables ou non. Nous voulons dire seulement que le problème n’est pas possible pour l’ensemble de tous les domaines, mais qu’il est possible pour les domaines quarrables.
(*) Rappelons que nous avons appelé domaine l'ensemble des points intérieurs à la frontière.
(**) De même il importait peu dans la 3e condition du problème de la mesuré des courbes de parler d’une courbe somme de deux, autres ou d’une courbe somme de plusieurs autres.
On démontrera facilement que, si l'on pose le problème avec les conditions 1, 2, 3, 4, il n’existe aucune famille de domaines formée des domaines quarrables et d’autres domaines, pour laquelle le problème des aires soit possible; au contraire il existe de telles familles si l’on pose le problème avec les conditions 1, 2, 3 bis, 4 et que l’on ne considère que les domaines plans.
Retenons seulement que le problème des aires n’est possible dans le plan que pour certaines familles do domaines, dans l’espace il ne sera donc aussi possible que pour certaines familles de surfaces.
58. Nous dirons qu’une surface S, correspondant au domaine D du plan (?q v), est fermée si à tous les points de la frontière de D correspond le même point pour S.
Nous dirons qu’un arc de courbe « (3 est intérieur à une surface fermée S s’il est impossible de tracer une courbe rencontrant a /3, ayant une branche infinie et ne rencontrant par S.
Nous dirons qu’un arc a (3 est quarrable s’il est possible de trouver une suite de surfaces polyédrales fermées S',, N2,... contenant a/ 3, dont les aires, sommes des aires des faces, tendent vers zéro et qui ont pour surface limite une surface dont l’ensemble des points est identique à l’ensemble des points de a (3.
Une courbe fermée sera dite quarrable si chacun de ses arcs est quarrable. Nous ne résoudrons le problème des aires que pour les surfaces limitées par des courbes quarrables (*).
Pour donner un exemple étendu de courbes quarrables montrons que toute courbe rectifiable est quarrable. Soit C une courbe rectifiable de longueur /, partageons-la en arcs de longueur a.
Soient a/ 3, (3 7, y à . . . ces arcs. Considérons les cylindres de révolution dont les axes sont les cordes a /3, /3 7, y c? . . . et dont les rayons sont égaux à a. Nous limiterons le cylindre a (3 aux deux parallèles dont les plans passent par a et (3 et de même pour les autres cylindres.
Deux cylindres consécutifs, a (3 et 13 y par exemple, seront reliés par l’un, convenablement choisi, des deux fuseaux que les parallèles limites de ces deux cylindres détachent sur la sphère de rayon a et de centre (3. Nous terminerons les cylindres extrêmes par des demi-sphères.
(*) Dans une note des Comptes Rendus de Novembre 1893 je me suis occupé de ta définition de l’aire d’une classe particulière de surfaces, les surfaces rectifiables. J’ai pu alors adopter une autre définition des courbes quarrables.
Lebesgue:
L’ensemble de ces surfaces est une surface fermée contenant C. La somme des aires de ces cylindres et sphères, le mot aire ayant le sens qu’on lui attribue en géométrie élémentaire, est au plus égale à
- 4 t: a* + 2 n a 1 long a ,3 ^ 4 - a l 4- 2 - a l. a
En remplaçant les cylindres par des prismes inscrits et les sphères par des polyèdres convexes inscrits on a une surface polyédrale fermée contenant C et d’aire au plus égale à 6 tt al] quand a diminue ces surfaces tendent vers C qui est quarrable.
Nous verrons plus loin que toute courbe quarrable dans le plan est quarrable dans l’espace.
59. Soit une courbe fermée C, notis appellerons aire minium de C la plus petite limite des aires des surfaces polyédrales dont les frontières tendent vers C.
Soient trois courbes fermées formées des arcs («, fi) pour la première, (i 3, y) pour la seconde, (a, y) pour la troisième. Supposons (3 quarrable; on peut l’enfermer dans des surfaces polyédrales fermées B , , B2 . . . dont les aires tendent vers zéro et dont les points tendent vers ceux de [3. Soient An A2... des surfaces polyédrales dont les frontières tendent vers («, /3) et dont les aires tendent vers l’aire minima de (a, (3). Soient do même les surfaces Ct, C2... relatives à (/3, y).
Si i est assez grand et j assez petit, AL et Ci rencontrent Bj suivant des courbes.
Supposons Ai définie à l’aide de fonctions des variables ?/, v\ le point ( u , v ) étant dans un certain domaine D indépendant de z; soit b la partie de frontière de D qui correspond à /3. Les points de Ai intérieurs à’ Bj correspondent à un certain ensemble de points du plan (u, v) lequel contient un domaine dont la frontière comprend b. Supposons ce domaine d<j pris le plus grand possible et soit bij la partie de sa frontière qui ne fait pas partie de celle de D.
La courbe 5, y de Ai qui correspond à b/j est sur Bj ; si i et j augmentent simultanément (3 ij tend vers (3 (*).
Nous définirons de même la courbe / 3',-j relative à Bj, Ci. Sur Bj on
(s) Pour ne pas être entraîné à de trop longs développements, nous admettons ces propriétés.
peut joindre les extrémités de (3,-j et /3'ÿ qui tendent vers l’extrémité m de 3 par une ligne polygonale m,j dont tous les points tendent vers m , de même soit n,j une courbe de Bj joignant les extrémités de (3,j et 3 ',-j qui tendent vers l’extrémité n de 3.
Soient A' ,-j la portion de Ai correspondant à D — dij et C'ij la portion analogue de Ci. La surface formée de A',j, C'ij et de l’une des deux surfaces limitées sur Bj par (3 ,y, 3 ,j , m,j , «y a sa frontière qui tend vers (a, y) et l’une de ses courbes qui tend vers (3. Son aire tend vers une quantité au plus égale à la somme des aires minima de (a, 3) et ((3, y); il est d’ailleurs évident que la limite ne peut être inférieure à cette somme, donc elle lui est égale.
C’est cette propriété qui nous servira dans la suite. Remarquons qu’elle suffit pour prouver que toute courbe plane non quarrable dans le plan n’est pas quarrable dans l’espace.
60. Considérons une courbe rectifiable fermée C de longueur l et soit une suite de polygones inscrits P,, P,... que l’on obtient en divisant C'en arcs égaux de longueurs a,, a2 . . . tendant vers zéro. Soit A l’un des sommets de Pi, la surface que nous avons attachée, au § 58, à la courbe C considérée comme ouverte et d’extrémités A, A et h Pi, moins les deux demi-sphères qui la terminent, constitue ce que nous appellerons une surface annulaire. En remplaçant les cylindres et fuseaux qui la composent par des polyèdres nous avons une surface annulaire polyédrale Si.
Considérons sur Si un contour fermé formé, sur les prismes, de parallèles aux arêtes des prismes, sur les polyèdres qui remplacent les fuseaux, de lignes polygonales inscrites dans des grands cercles de ces fuseaux, soit Ip, la longueur de I’,- est évidemment inférieure à
l + 2nt(i 1 =(2- + 1 )/.
ai
Considérons l’ensemble E des polygones comprenant: l.° les trapèzes dont les bases sont les axes des cylindres et les parallèles aux génératrices faisant partie de r,-; 2.° les triangles que l’on obtient en joignant chaque sommet m de Pi aux sommets de r* situés sur la sphère de rayon at- et de centre m, La somme des aires de ces polygones est au plus
(2tt + 1 \l+l
ai = fa + 1) tti
L eb es g ue :
Ceci posé, nous avons vu au paragraphe précédent que l’on peut considérer l’aire minima de C comme la limite la plus petite des aires de surfaces polyédrales Ai dont les frontières Ci, portées par les surfaces Si, tendent vers C.
Considérons la surface formée de l’ensemble E, de l’un des ensembles de polygones de Si dont les frontières sont les côtés de Ci et de T\, et de la surface Ai (*) ; son aire diffère de celle de Ai de moins de (ît —J— 1 )a,l augmentée de la somme des aires des polygones qui forment Si. Donc l’aire minima de C est la limite des aires minima des contours Pt-, et l’aire minima de Pi est la limite inférieure des aires des surfaces polyédrales dont Pi est la frontière. On sait donc trouver l’aire minima de Pi par une suite dénombrable d’opérations, donc l’aire minima de C peut être obtenue à l’aide d’une infinité dénombrable d’opérations. Mais il faut bien remarquer que ce n’est pas une suite dénombrable d’opérations; en d’autres termes l’aire minima d’une courbe rectifiable n’est pas définie à la façon de la somme d’une série mais à la façon de la somme d’une série dont les termes sont des séries.
Les polygones Pi sont des polygones particuliers inscrits dans C, on peut remplacer cette suite de polygones par une suite quelconque de polygones inscrits dans C et tendant vers C. En effet, soient deux polygones P et Q de longueurs inférieures à / qui se correspondent point par point, les points homologues étant distants de moins de e; en raisonnant sur Pet Q comme sur F,- et Pi, on voit que les aires minima de P et Q diffèrent de moins de l e.
61. La plus petite limite des aires des surfaces polyédrales qui tendent vers une surface donnée S est ce que nous appellerons Yaire intérieure de S.
D’après la condition 4 du problème des aires ce nombre doit être l’aire de S. Avant de rechercher s’il vérifie la condition 3 de ce problème, nous allons étudier les surfaces dont l’aire intérieure est finie. Ces surfaces sont les surfaces quarrables , elles correspondent aux courbes rectifiables.
Soit a l’aire intérieure de S. Supposons que l’ensemble des projections des points de S sur le plan des xy contienne un domaine. Soit un rectangle A B C D de côtés parallèles à o x ot o y et contenu dans ce domaine.
Soit une série de surfaces polyédrales S,, S* . . . qui tendent vers S et dont les aires a,, a,. .. tendent vers a. L’ensemble des projections des points de Si sur le plan des xy contient un rectangle Ai Bi Ci Di de côtés paral-
(*) Nous admettons ici que tous cés polygones forment bien une surface.
lèles à ox et o y. Ou peut supposer que Ai, Bi, Ci, IL tendent vers A, B , C , D , quand i augmente indéfiniment.
Soit /,- (g) la somme des longueurs des lignes polygonales sections de Si par y=yi, /;(>/) sera indéterminée si dans le plan d’ordonnée y se trouve une face de Si, nous ne nous occuperons pas des valeurs de y pour lesquelles cela a lieu. Soit /,- la limite inférieure de /,-(//) quand y varie de y, ordonnée de Ai B; à y'{ ordonnée de />, C, . On a évidemment
a. ^ li ( y'i — y/).
Or a/ tend vers a, y' i — ?/, tend vers la longueur du côté B C , donc la
plus grande des limites vers laquelle tend f est au plus
quantité
long. B C
finie. D’ailleurs lj (y) étant continue la valeur est atteinte pour une valeur o-i de y.
La section de Si par le plan y — a,- se compose d’un nombre fini de lignes polygonales qui décomposent Sc en un nombre fini de morceaux.
Supposons choisis sur S deux points il/ et N se projetant sur le plan des xy de part et d’autre de la bande comprise entre les droites indéfinies A B et C D , et soient Mi et N, des points de Si qui tendent respectivement vers il/ et N. Les projections de Mi et JVj sont, dès que i est assez grand, de part et d’autre de la bande comprise entre les droites indéfinies A{ B, et Ci Di] Mi et Ni appartiennent alors à deux morceaux différents de S,] désignons par Li l’une des lignes composant la section de St par y = a,- et choisie de façon que il/,- et N; soient sur St de part et d’autre de L{. L, est de longueur au plus égale à
Nous verrons, §§ 95 et 96, que certaines des L, ont une courbe limite L
dont la longueur au plus égale à -r - •
° 1 ° long. B C
L est d’ailleurs une courbe plane située dans le plan y — a, a étant la limite des nombres a,- correspondant aux courbes L,- considérées. De plus L divise S en deux morceaux, l’un contenant il/, l’autre contenant N.
Donc toute surface quarrable peut être divisée en deux morceaux par une courbe rectifiable , on peut de plus supposer que cette courbe est dans un plan parallèle à un plan P donné. Mais la démonstration précédente suppose qu’il existe un plan perpendiculaire à P sur lequel l’ensemble des projections des points de S contient un domaine. Les seules surfaces pour lesquelles cela n’a pas lieu sont celles qui sont sommes de surfaces portées par
Lebesg ne:
des plans parallèles à P et de surfaces dont l’ensemble des points est aussi l’ensemble des points d’une courbe dont la projection ne remplit aucun domaine. Des raisonnements longs mais simples, analogues à ceux que nous venons d’employer, permettent de montrer que le théorème précédent s’applique aussi à ces surfaces, donc toute surface quarrable peut être décomposée a l’aide de courbes rectifiables en un nombre fini de surfaces dont les aires intérieures sont aussi petites que Von veut.
62. Considérons une surface quarrable S et soit une suite de divisions de S en un nombre fini de surfaces à l’aide de courbes quarrables. De telles divisions existent toujours d’après ce qui précède; de plus on peut supposer que, dans la ième division Dn le maximum de la distance de deux points d’un
même morceau soit e,-, st tendant vers zéro avec — . Soient A , P, C... les n
morceaux qui proviennent de la division P,; a, b: c... les contours de ces morceaux. Soient a, /3, y . . . des surfaces polyédrales dont les aires diffèrent
de moins de — des aires minirna de a. b. c . . . et dont les frontières diffèrent
de moins de et- de ces frontières. On peut enfermer A dans un cube de côté si et nous pouvons supposer que a est tout entière dans ce cube.
Ceci posé, le raisonnement du § 59 nous montre qu’il est possible de construire une surface polyédrale S; dont l’aire soit aussi voisine que l’on veut de la somme des aires des a, /3 , . . . , c’est-à-dire dont l’aire soit plus petite que la somme des aires minirna des a, b . . . augmentée de s ou du moins aussi voisine que l’on veut de cette somme.
Si l’on fait correspondre point à point a et A les points correspondants sont distants au plus de s,fi 3, donc on peut supposer que Si et S se correspondent point à point, le maximum de la distance de deux points homologues étant aussi voisin que l’on veut de e; \J 3.
Les surfaces Si ont donc pour limite S et par suite la plus petite limite de leurs aires est au moins égale à l’aire intérieure de S.
Attachons à chaque division Di le nombre nu somme des aires minirna des contours «, b . . . L’aire intérieure de S est au plus égale à la plus petite limite des nombres m t- .
Considérons une suite de surfaces polyédrales 2P tendant vers 5 et dont les aires tendent vers l’aire intérieure de S. Traçons sur elles des courbes qui tendent vers a , ô, c . . . On divise ainsi 2p en n morceaux qui tendent respectivement vers A, B, . . . et dont la somme des aires tend vers une li-
mite supérieure à la somme des aires minima de a, b . . . Donc, quel que soit i, nii est inférieur à l’aire intérieure de S.
Donc quelle que soit la suite de divisions Di, les nombres nii correspondants ont une limite: l'aire intérieure de S.
De cette définition de l’aire intérieure résulte que si l’on divise une surface S en deux surfaces Sn S2 par une courbe quarrable, l’aire intérieure de S est la somme des aires intérieures de S, et S2. Donc si Von pose le problème des aires avec les conditions 1 , 2, 3 bis , 4 il est possible et cVune seule manière pour les surfaces limitées par des courbes quarrables, l’aire d’une surface étant son aire intérieure.
63. Nous dirons qu’une courbe C tracée sur une surface S est quarrable sur cette surface s’il est possible de l’enfermer dans des morceaux de S dont la somme des aires est aussi petite que l’on veut; le mot aire ayant le sens qui vient d’être indiqué.
Supposons tracée sur S une courbe C fermée qui partage S en deux morceaux. L’un d’eux est intérieur à C. Dans ce morceau nous pouvons tracer des courbes quarrables Ci divisant S en deux morceaux et tendant vers 6'; Ci limite sur S une surface Si, il est évident que l’aire de Si tend vers l’aire intérieure du morceau 2 limité par C. Au contraire si l’on considère des courbes Ci tendant vers C , mais extérieures à 2, il se peut que les aires des surfaces Si que limitent les C ", ne tendent pas vers l’aire intérieure de celle limitée par C. Un raisonnement tout-à-fait identique à celui qu’emploie M.r Jordan pour le cas où S est un plan (Cours d' Analyse, 2e édition § 36) montre que les aires des St tendent vers une limite déterminée, l’aire extérieure de 2 sur S.
Dans le cas où C est quarrable sur la surface et dans ce cas seulement ces deux aires (intérieure et extérieure) sont égales.
On voit qu’une courbe de S quarrable dans l’espace est quarrable sur S. Ceci revient à dire que si l’on considère sur S une famille de courbes quarrables dans l’espace C (X) variant d’une vfaçon continue avec X, la courbe C (X) limitant sur S une surface S ().), l'aire de S (X) est une fonction continue de X.
64. Nous pouvons maintenant démontrer que l’aire d’une surface satisfait à la condition 3 du problème des aires. Soit une surface S divisée par des courbes en morceaux St, S2 . . . Nous pouvons remplacer chaque surface S{ par une surface *S't- qui la comprend de façon que la différence des aires entre S'{ et Si soit inférieure à un nombre choisi arbitrairement e;.
Lebes gue:
Pour démontrer que la somme des aires des Sh qui n’est pas supérieure
à l’aire de S, ne lui est pas inférieure, il suffit donc de démontrer qu’il en
est de même de la somme des aires des S',-. Chaque point de S étant intérieur à l’un des S ; cela serait évident si les S'; étaient en nombre fini, à cause de ce qui précède. Or, en reprenant le raisonnement que M.r Borel emploie à la page 42 de ses Leçons sur la théorie des fonctions et qui nous a déjà
été utile, on voit qu’il suffit de choisir .convenablement un nombre fini de
surfaces S' { pour que tout point de S soit intérieur à l’une d’elles.
Le problème des aires posé avec les conditions 1, 2 , 3, 4 est donc possible et d’une seule manière pour les surfaces limitées par des courbes quar râbles , l’aire d’une surface étant son aire intérieure.
On verrait aussi que dans la définition de l’aire intérieure à l’aide des divisions Dt du § 62, il est inutile que ces divisions ne fassent intervenir qu’un nombre fini de morceaux.
Remarquons que cette définition de l’aire intérieure d’une surface est analogue à la définition de la longueur d’une courbe comme limite des périmètres des polygones inscrits. Un polygone inscrit définit en effet une division de la courbe à laquelle nous faisons correspondre une division de la surface à l’aide de courbes quarrables. A la longueur d’un côté a b d’un polygone, c’est-à-dire à la limite inférieure des longueurs des courbes qui joignent les deux points de division consécutifs u, b, nous faisons correspondre la limite inférieure des aires des surfaces limitées par C l’un des contours quarrables qui intervient dans la division de la surface.
L’analogie se poursuit plus loin encore, car il est possible de démontrer qu’étant donnée une courbe fermée C il existe une surface limitée à C et ayant pour aire intérieure l’aire minima de C(*). Ces surfaces correspondent aux côtés des polygones inscrits.
G5. En géométrie élémentaire on définit les aires des surfaces cylindriques, des surfaces coniques et des surfaces convexes; il nous est facile de légitimer ces définitions.
Soient un cylindre limité à deux sections droites et A, B deux de ses génératrices, elles découpent sur la surface un morceau D. La projection sur
le plan de A et B d’une surface polyédrale qui tend vers D couvre un domaine qui tend au moins vers le rectangle limité par A , B ; donc l’aire de
cette surface polyédrale tend au moins vers l’aire de ce rectangle. De là
(*) Voir chapitre VL
résulte que l’aire d’un cylindre est au moins celle de tout prisme inscrit.
Mais si les faces d’un tel prisme tendent vers zéro le prisme tend vers le
cylindre et par suite son aire tend au moins vers celle du cylindre, donc exactement vers cette aire.
La môme démonstration s’applique au cône. On voit que les cylindres de directrices planes rectifiables et que les cônes de directrices sphériques rectifiables sont seuls quarrables.
Soit une surface S fermée convexe, c’est-à-dire ne rencontrant aucune droite en plus de deux points; et soient <9,, S.2 . . . des surfaces polyédrales fermées tendant vers 5 et dont les aires tendent vers l’aire intérieure de S (*).
Soit O un point intérieur à S. Prenons par rapport à O les homothétiques S' i , S'2 . . . de S, , S2... les rapports étant tels que S'; n’ait aucun point intérieur à S. Il suffit pour cela que le rapport relatif à S; soit
— ? si deux points correspondants de S et .9',- sont distants d’au plus e,-
Ti — £**
et si R est le minimum de la distance de O aux points de S, et puisque s; tend vers zéro avec — l’aire de S est la limite des aires des S',-.
Ceci posé considérons un polyèdre convexe P inscrit dans S ; tous les points de P étant intérieurs à S et par suite à S' { l’aire de P est inférieure à celle de 5'., c’est-à-dire au plus égale à celle de S. Si donc nous considérons une suite de polyèdres convexes inscrits dans S et tendant vers S on voit, d’une part que la plus petite limite des aires de ces polyèdres n’est pas inférieure à l’aire de *9, d’autre part que la plus grande limite ne lui est pas supérieure, c’est-à-dire que l’aire de S est la limite des aires des 'polyèdres convexes inscrits tendant vers S.
Si l’on ne considère qu’un morceau de S limité par une courbe quai’rable le même résultat est vrai, comme il résulte de la démonstration précédente. Remarquons d’ailleurs que toute section plane de S étant convexe est rectifiable et par suite quarrable.
(*) Puisque nous avons défini une surface fermée comme ayant tous ses points frontières confondus en un point A, nous pouvons seulement affirmer que les frontières des Si, tendent vers A, et non pas que les Si sont fermées. Mais en coupant Si par une sphère iy de centre A, ce qui détermine autour de la frontière de Si une courbe Ci et en fermant la portion de Si extérieure à par l’une des portions limitées par Ci sur 2,-, on remplace Si par une surface fermée, laquelle est polyédrale si l’on emploie à la place de un polyèdre convenable inscrit dans
Lebesgue :
On voit aussi que si une surface convexe S enveloppe une surface convexe S' l’aire de S est supérieure à celle de S' ; de là résulte que l’aire de S' est finie si celle de S est finie et comme on peut prendre pour S un cube, toute surface convexe est quarrable. De plus son aire peut être définie comme la limite supérieure de celles des polyèdres convexes inscrits.
Les exemples de ce paragraphe montrent que l’on pourrait en géométrie élémentaire définir d’une manière générale l’aire d’une surface S comme la plus petite limite des aires des surfaces qui tendent vers 8. .
6G. Pour les surfaces simples que nous venons d’examiner l’aire se calcule par une suite dénombrable d’opérations. Dans le cas général, pour calculer l’aire de la surface par les procédés précédemment indiqués, il faut d’abord diviser la surface en morceaux aussi petits que l’on veut par des courbes quarrables. Nous savons obtenir une telle division si la surface est donnée comme limite de surfaces polyédrales dont les aires n’augmentent pas indéfiniment.
Supposons la surface S donnée par:
ti , v décrivant un domaine D. Coupons cette surface par x = A, ce qui donne sur S un nombre fini ou infini de courbes. Soient sur S deux points M, N que nous supposons de part et d’autre de x — 1] nous appellerons C(>.)' l’une des courbes sections de S par x = A, qui sépare S en deux morceaux, l’un contenant M, l’autre N. A C (1) correspond dans le plan (u, v) y (A). Soit D, une partie de D balayée par -/(A).
Inscrivons dans / (A) un polygone de côtés égaux à /, et soient P y A, /,) le polygone correspondant inscrit dans C (A) et 1(1, /,) sa longueur. 1(1, /,) est une fonction continue de A, on peut donc la définir par une infinité dénombrable de valeurs, celles qui correspondent aux valeurs rationnelles de A; et par suite trouver son minimum m ( l ,) et la valeur A, pour laquelle il est atteint.
Soient /, , tendant vers zéro, les valeurs A,, A.2,... correspondantes
ont une valeur limite A0; C (A0) a pour longueur la limite de m(lt), m(l2)... et c’est la courbe de plus petite longueur parmi les C (A). Donc si m (/,), m(L). . . augmentent indéfiniment S n’est pas quarrable; sinon on sait diviser S en deux morceaux par une courbe quarrable.
On peut donc par une infinité dénombrable d’opérations savoir si une surface est quarrable et, si elle l’est, trouver son aire.
67. Démontrons que toute courbe quarrable sur une surface 2 = /‘(.r, y) est quarrable dans l'espace. Soit F une courbe quarrable sur la surface considérée $ ; enfermons-la dans un morceau D de S limité par une courbe
rectifiable C , soit l la longueur de C. Faisons subir à D les translations y ?
parallèles d’une part à o z, d’autre part à z o. Les nouvelles positions de D et l’ensemble des positions occupées par C constitue une surface fermée dont l’aire est deux fois celle de D augmentée de z. Cette aire peut donc être rendue aussi petite qu’on le veut; et puisqu’une surface fermée peut être remplacée par une surface polyédrale voisine, l’aire étant changée aussi peu qu’on le veut, r est quarrable dans l’espace.
Cette propriété s’applique en particulier au plan, ainsi que nous l’avions annoncé; mais elle n’est pas générale, c’est-à-dire qu’une courbe non quarrable dans l’espace peut être quarrable sur une surface.
Considérons en effet une courbe plane fermée non quarrable C et une circonférence T intérieure h C. C n’est pas quarrable dans l’espace et cependant C est quarrable sur la surface quarrable formée d’une part de la surface limitée par C sur le plan, d’autre part de la couronne limitée sur le plan par C et r.
