Nous considérons les surfaces
* = f(u, v), V = ? O, v), z = ip ( u , v)
ayant en tout point un plan tangent et telles que f, , <j>, t p aient des dérivées partielles du premier ordre continues.
Isolons sur la surface un morceau qui, par rapport à des axes convenables, ait pour équation z = f(x , y), le plan tangent n’étant jamais parallèle à 0 2.
Soit D le domaine projection sur oxy du morceau considéré 2; soit 3/ le maximum de la valeur absolue des dérivées du premier ordre. Divisons D en carrés de côtés parallèles à o .r et o y ; supposons tous ces carrés de côté a et soit n le nombre de ceux de ces carrés qui sont intérieurs à D (nous négligerons ceux qui ne sont pas intérieurs h D).
Soient a(5yd l’un de ces carrés, C la courbe qui lui correspond sur 2, a! (5' y' d' le parallélogramme qui se projette sur a. (S y <? et qui est dans le plan tangent en un point £, >7, £ du morceau de S limité par C.
La différence entre l’aire de ce parallélogramme et faire minima de C est au plus l’aire de la partie du prisme projetant C limitée par cette courbe
L "ebesgue :
et a'j3'/o'. Si nous désignons par e le maximum de la variation des dérivées partielles dans l’un quelconque des n carrés, cette aire est au plus 2a!c. 4.
L’aire de «' fi' y’ à' est
L’aire intérieure de 2, ou plutôt de la partie de I qui se projette à l’intérieur des carrés considérés, est égale à
A-=a2 Vv/'i + n+l
à moins de 8 a2 n e près. Or A tend, quand a tend vers zéro, vers l’intégrale
étendue au domaine D\ a2 n est inférieur à l’aire de Z), e tend vers zéro avec a , donc l’aire est donnée par l’intégrale
Il suffit d’un changement de variables pour retomber sur la formule connue :
Nous avons en même temps retrouvé la définition qu’emploie M.r Hermite.
69. Il serait intéressant de savoir si, dans tous les cas où l’intégrale précédente existe, elle représente l’aire et dans quels cas cette intégrale existe.
Les méthodes du § 50 avec lesquelles nous avons fait dans le cas des courbes l’étude analogue, permettraient peut-être, bien que des difficultés nouvelles se présentent, d’examiner le cas où il existe en tout point un plan tangent. Mais il faudrait encore étudier le cas où les dérivées partielles de x , y , z existent sans que le plan tangent existe.
J’indiquerai seulement le résultat suivant dont la démonstration est fort simple. Si les dérivées de x, y , z , considérées comme fonctions de u ou de v, sont toutes inférieures en valeur absolue à un nombre M l’intégrale précédente donne une limite supérieure de l’aire.
70. Dans le chapitre III nous avons appris à former des fonctions qui définissent la courbe rectifiable la plus générale; nous ne résoudrons pas le problème analogue relatif aux surfaces quarrables (*), nous allons montrer seulement que l’on peut définir une famille intéressante et fort étendue de surfaces quarrables qui jouit de propriétés analogues à celles de la famille des courbes* rectifiables : c’est la famille des surfaces rectifiables.
Nous dirons qu’une surface S
définie pour un certain domaine D du plan (?/, v ), est rectifiable si, à toute courbe rectifiable de D correspond une courbe rectifiable de S.
Signalons d’abord une différence entre les courbes et les surfaces rectifiables. Dire qu’une courbe est rectifiable c’est donner une propriété de l’ensemble de ses points; dire qu’une surface est rectifiable c’est donner une propriété de l’ensemble de ses points et une propriété de la représentation particulière qui définit la surface. En d’autres termes, une surface rectifiable peut cesser de l’être si l’on change de représentation paramétrique. Par exemple, la demi-sphère
x = u, y = v, z = \IR' — u 2 — v* n’est pas rectifiable, et la demi-sphère
x = R sin 6 cos <p, y = R sin 6 sin y, z = R cos 6
l’est.
Il est d’abord évident que pour qu’une surface soit rectifiable il faut et il suffit que ses projections le soient; qu’il s’agisse de projections sur des plans ou sur des droites. Nous pouvons donc raisonner sur la surface
Soient a , b deux points du plan (u, v\ A et B les points de la surface qui leur correspondent. Nous allons démontrer que le rapport
distance AB .
distance a b ? '
(*) Cependant., une surface quarrable étant limite de surfaces dont les aires n'augmentent pas indéfiniment, il est facile d’indiquer un procédé régulier permettant d’obtenir toute surface quarrable par une suite dénombrable d’opérations. Mais un tel procédé n’est pas comparable pour la simplicité à celui qui fournit les courbes rectifiables.
Lebesgue :
est limité. En effet, s’il ne l’était pas, on pourrait trouver une suite </,, b, ; a, , bi) ... telle que les rapports correspondants augmentent, indéfiniment; on pourrait même supposer que les points a,- d’une part, ê(- d’autre part ont des points limites a et b. a et b sont confondus, sans quoi r (a, b) serait infini, ce qui est impossible. Choisissons une série convergente à termes positifs décroissants, soit
Soient aa.f bp. deux points dont les distances à a sont inférieures à e,- et tels que r(aa. , bp) est supérieur à Considérons la courbe obtenue en al-
lant de a à a(ti en ligne droite, de a0,i à bpt de bpi à a0Li et ainsi de suite assez de fois pour que le chemin parcouru sur aŒ] bp soit compris entre e, et 2 on arrivera ainsi soit en a, soit en ,6,; on parcourt la droite qui joint ce point à a , puis on va de a à aa.i et l’on parcourt sur aa.fi)pl une longueur comprise entre et 2 et l’on va de a„ t ou bpt à a et ainsi de suite. La courbe du plan (u, v) ainsi parcourue est de longueur au plus
4 (êi + + • • •)•
La courbe de la surface ainsi parcourue est de longueur au moins
ol £2
donc de longueur infinie, ce qui est contraire à l’hypothèse.
Ainsi r ( a , b) est limité, cette condition est évidemment suffisante; on peut l’ exprimer ainsi: la condition nécessaire et suffisante pour qu’une surface soit donnée sous forme rectifiable est que f(u , v), <jp (u, v), <p (u; v) considérées comme fonctions de la seule variable u ou de la seule variable v aient des nombres dérivés bornés.
Occupons-nous de la surface projection sur 0 or. Les courbes
u == ft (; t ) v = l, (0,
f et <p, étant croissantes, qui joignent u0 , v0 à u , v ont une longueur au plus égale à
(nous supposons que u0 , v0 sont les plus petites valeurs de u et v et que t/0, v0 définit un point de la surface; il est facile de se débarrasser de cette hypothèse); les courbes correspondantes de la surface ont donc des longueurs
au plus égales à
M f 2 (u -{- v — Ut, — v0)
si les nombres dérivés de f sont inférieurs à M.
Soit V (m, v ) le maximum de ees longueurs, c’est une fonction croissante de u et de v dont les nombres dérivés sont inférieurs à M.
D’ailleurs si
«.>W2, v,>vn
on a:
F(Mt, V,)—V(ut) vf) — 1 f (u t j V,) — f[U,, v,) j,
donc
V (ui v ) = j [ V V>} +
sont des fonctions croissantes de u et v et f(u, v) est la différence de deux fonctions croissantes dont les nombres dérivés sont inférieurs à M.
Si nous avions recherché la condition pour qu’à toute courbe rectifiable ^ — Z (0 l’axe des t corresponde sur la courbe
une courbe rectifiable
nous aurions aussi trouvé que f , <jp, sont des différences de fonctions croissantes à nombres dérivés bornés.
71. Montrons que les surfaces rectifiables sont quarrables. Divisons le domaine D du plan (m, v ) en carrés. Soit a le côté de l’un d’eux, la courbe qui correspond à son périmètre a une longueur au plus égale à 4 Ma. L’aire minima de cette courbe C est au plus l’aire du cône dont le sommet est sur C et dont C est la directrice. Or on obtient cette aire comme limite des aires analogues relatives aux polygones inscrits dans C et tendant vers (7; l’aire minima de C est donc au plus égale à celle que limite dans le plan
une courbe de longueur 4 M a c’est à-dire au plus l’aire
de circonférence 4 M a.
du cercle
Lebesgue:
L’aire de la surface est donc au plus celle du domaine D multipliée
4 Mi
par — .
Une surface rectifiable est donc quarrable et le rapport de l’aire d’un morceau de surface à l’aire de la partie correspondante du plan ( u , v) est borné.
72. L’ensemble des surfaces rectifiables est fort étendu; il comprend par exemple toutes les surfaces analytiques, tous les cylindres et cônes développables (*), toutes les surfaces convexes, à condition de choisir convenablement la représentation paramétrique. Mais il existe des surfaces quarrables qui ne sont pas rectifiables, quelle que soit la représentation paramétrique choisie.
Considérons en effet dans le plan des z x une courbe z = f(x ), passant par l’origine, définie pour 0 << x <C 1 et telle que, s étant l’arc, on ait:
dsl d x x
Cette courbe n'est pas rectifiable, mais tout arc de cette courbe ne comprenant pas l’origine l’est; c’est-à-dire que le cylindre z = f(x) n’est pas quarrable mais que tout morceau ne rencontrant pas l’axe des y l’est.
Considérons la partie de cylindre qui est située entre les plans x — 0, x=y\ elle est quarrable et d’aire:
La surface comprenant ce morceau de cylindre et symétrique par rapport aux plans x = 0, y = 0, x — //, x — — y est donc quarrable; mais il ne passe aucune courbe rectifiable de cette surface par l’origine, donc elle ne peut être mise sous forme rectifiable.
(*) Chapitre V.
