Nous nous servirons de la propriété suivante
Si dans tout intervalle les fonctions (/, f,)': (çp, 'f()j (<L ^t) ont les mêmes variations totales finies les deux courbes (/’, çp, <£) et (f, , , tp,) ont la même longueur.
En effet, soit une division de l’intervalle de variation de t
to J 1 1 , . . . tn .
La longueur de la première courbe a pour valeur approchée
Soit v [fit] j la variation totale de f entre t0 et t.
La somme précédente diffère de
2\J1 * * * V [/■(**+•)] — v [fi <<)] + v [? (*<+•)] — V [çp (*,)] + v — V U/)]
de moins de
zsf,?rt\v[f{ti+i)\~ v[/V/)]!-lfi^+*)-A^)l = Sv[ f(tn)\
Donc la longueur peut être définie comme la limite de
1 \Jv [f{h+i)] — v [fit;)] 4- v [f (/<+,)] — v [> (<<)] + v [<// (ti+i )] — v [ip («,)]
et cette somme est la même pour les deux courbes.
74. Considérons une courbe rectifiable quelconque C, x = f{t ), portée par l’axe des x, effectuons la transformation ponctuelle X = f (x), f étant
continue. A la courbe C correspond la courbe P, X = çp [/(<)]. Proposonsnous de rechercher quelle doit être la fonction çp (x) pour que C et r aient toujours la même longueur.
Si la fonction f(t) se réduit à t , T a pour équation X = y (f), ce qui montre que çp (a;) doit avoir entre t0 et t\ une variation totale égale à tt —
L ebes g ue :
Supposons cette condition remplie et prenons pour C une courbe rectifiable quelconque. Inscrivons dans cette courbe un polygone, soit g la longueur maximum des côtés de ce polygone. Si les sommets de ce polygone correspondent aux nombres ti} sa longueur est:
l(G) = X\f(ti +,)-f (01 et celle du polygone correspondant de r
Or quand g tend vers zéro la plus petite des limites de cette somme est égale à la variation totale de <jp entre f(ta) et f ( tn ) c’est-à-dire à | f{tn) — f{h) |. La longueur de F est donc supérieure à la corde qui joint les extrémités de C.
Divisons C en arcs partiels, le meme raisonnement montre que la longueur de T est supérieure à celle du polygone formé par les cordes des arcs partiels considérés. Donc la longueur de F n’est pas inférieure à celle de C.
D’ailleurs la longueur de F est la limite de la somme / (r) et d’après ce que nous avons supposé on a :
I? [fiU+d] —f[f(ti)] Ml f (M) — f ( h) I
c’est-à-dire que l(T) est inférieure à l (C).
Donc C et r ont la même longueur.
Pour trouver toutes les transformations ponctuelles de l’axe des x qui ne changent pas les longueurs des courbes portées par cet axe, il suffit donc de trouver toutes les fonctions <j> (x) dont la variation totale dans un intervalle quelconque est égale à la variation de x dans cet intervalle. Pour cela, prenons une fonction continue à variation limitée /(Y), c’est-à-dire la différence de deux fonctions continues croissantes. Soit v (t) la fonction qui représente la variation totale de f entre t0 et t) affectée du signe + ou — suivant que t est supérieur ou inférieur à t0. L’équation x = v (t) peut être résolue par rapport à t puisque v (t) est une fonction croissante, soit t = (x). La
fonction f\ÿ (æ)] est la plus générale répondant à la question.
75. Soient trois fonctions F, d>, 'P, dont les variations totales sont dans tout intervalle égales à la longueur de l’intervalle.
La transformation ponctuelle
fait correspondre à toute courbe C une courbe F de même longueur. En
effet, si C est définie par f (t), y (t), $ (Oj L est définie par F f f(tj], (I> [<p (£)], VF [«p (tf)] ; et les deux fonctions telles, que /(/), F [f (t) J, ont, dans tout intervalle, la même variation totale et il en est de même pour y (t), $ [<jp (£)] ; ÿ (t),
La transformation dont il s’agit fait correspondre à chaque point de l’espace (x, y , z) un seul point de l'espace ( X , Y, Z). Mais à un point de cet espace peut correspondre un ensemble de points de (x, y , z) ayant la puissance du continu. Si la transformation était biunivoque, ce serait une symétrie plus un déplacement ou un déplacement.
Remarquons encore qu’à toute courbe de l’espace (; x , y , z) correspond une courbe de l’espace ( X , Y , Z) mais que la réciproque n’est pas vraie.
76. Soit une surface S , appliquons lui la transformation ponctuelle du paragraphe précédent; on trouve une surface I. A toute courbe tracée sur S correspond une ligne de même longueur tracée sur 2; à toute courbe de I correspond une courbe de 5 car, se donner une courbe sur S ou sur I, c’est se donner une courbe dans le domaine plan ( u , v ) qui sert à définir S.
Entre les points de S et de 2 on peut établir une correspondance biunivoque telle qu’à toute courbe rectifiable tracée sur l'une des surfaces corresponde sur l'autre une courbe de même longueur.
Deux, surfaces qui jouissent de cette propriété sont dites applicables l’une sur l’autre. Cette définition n’est intéressante que si par tout point des surfaces considérées passent plusieurs courbes rectifiables. Elle aurait peu d’intérêt s’il s’agissait de cylindres à section droite non rectifiable, car sur de tels cylindres les génératrices sont les seules courbes rectifiables.
La définition précédente n’aurait plus aucun sens s’il s’agissait de surfaces de la forme
f et étant à variation non bornée, de telles surfaces ne contenant en général aucun arc de courbe rectifiable.
77. Il est, au contraire, très intéressant de savoir si deux surfaces analytiques sont applicables l’une sur l’autre. On sait que, pour une surface analytique
z = f(u, v ), y = cf (M, v), z = <p (u, v ), la longueur d’un arc correspondant à des fonctions w, v ayant des dérivée?
Lebesgue:
continues, a pour différentielle
df
a f df
y d u d vj
E d a- + 2 F d u dv G d v2.
Pour que deux surfaces analytiques soient applicables l’une sur l’autre, les points («, v) des deux surfaces se correspondant, il faut que pour les deux surfaces les quantités E , F , G soient les mêmes.
Montrons que ces conditions sont suffisantes; cela est évident pour les courbes analytiques et pour celles qui sont composées d’un nombre fini d’arcs analytiques.
Soit maintenant un arc rectifiable quelconque sur une surface analytique 5. Considérons un ligne polygonale P inscrite dans cette courbe. Aux sommets de P correspondent dans le plan («, v) des points que nous considérons comme les sommets d’un polygone - du plan des («, v) ; soit n la courbe de 5 qui correspond à -. Nous allons démontrer que, lorsque les côtés de P sont assez petits, la différence des longueurs entre P et II est aussi petite qu’on le veut.
Soit A B un côté de P, a b le côté correspondant de tt. Evaluons le rapport long .AB: long .a b. Si les coordonnées de a et b sont (w, v); (u + t cos 9, v + / sin 9) ce rapport est :
(— = r 2 (m, v. S, t) =4- S [ f(u + t cos 0, v + t sin 9) — f(u, v)]2.
» et O J t ~
Cette fonction n’est définie que pour t ='= 0, nous poserons r 2 (m, v, 9 , 0 ) — E cos2 6 + 2 F sin 9 cos 9 + G sin2 9.
La fonction r2 ainsi définie est continue par rapport à l’ensemble u, v, 9 , 0. Cela est évident si £=|=0; montrons qu’il en est encore ainsi pour le point w0, v0, 0- Si cela n’était pas il serait possible de trouver une suite
de valeurs m,-, vi} 9h t ; tendant vers u0, v„, 90, 0 les valeurs correspondantes r2 (tii , v{ , 9h tf) ne tendant pas vers r2 (î/0, v0, 90 , 0). Dans une telle suite aussi loin que l’on aille, on trouvera des valeurs de différentes de zéro, car r ( u , v , 9 , 0) est continue par rapport à l’ensemble «, v, 9. On peut donc supprimer tous les groupes uh vh 9^ t{ pour lesquels tt est nul, ou, ce qui revient au même, supposer tous les ^ différents de zéro. Nous avons à cher-
cher la limite de
rp S [f(u; + 4 cos 6i , Vi -f ti sin 9,) — f(u, , «,•)]*.
Ceci s’écrit
s [f'u (M, ■ + ri i t, cos 9f , Vi -f- 7}'i ti sin 0,-) cos 9t +
+ f'v (« i -f e'i ti cos 9h Vi -f- rj'i ti sin 9t) sin S,]2.
Les nombres correspondant à f , >?•' à », ei' à étant compris entre zéro et un.
Les dérivées premières sont continues par rapport à l’ensemble u, v donc la limite est
S[f’u(u0, v0) cos 90 f'v (wo? t>o) sin ^0]2 — r- (u0, v0, 60, 0).
La fonction r 2 (w, v , 9, t) étant continue, on peut trouver une valeur >7 telle que, pour
\u, — I W| — Vj|<>7, I ti — 4 |<>î,
on ait :
I »*(«!, vt, 9, t,) — r (w2, vtJ 9, 4) | < £•
Supposons tous les côtés de n de longueur inférieure à y et soit A a B l’arc de IT correspondant au côté a b de Evaluons la longueur de cet arc.
Pour cela inscrivons un polygone Q dans l’arc, un côté M N de ce polygone correspond à un segment m n porté par le côté a b et l’on a, en conservant les notations précédentes
; long M N , . .
long mn
Donc
| long A a B — long a b . r (v, v , 9 , 0) 1 < long a b . z Mais on a aussi
| long AB — long a b . r («, v , 9, 0) | <C long a b . e
Et par suite
long A a B — long .4 B < 2 long a b . e
On en déduit:
long n — long P <C. 2 long ?r . e.
Lebesgue:
La longueur de n tend vers la longueur de la courbe c du plan des («, v) qui correspond à la courbe considérée C de l’espace. Montrons que c est rectifiable si la surface dont il s’agit n’a pas de point singulier. On sait qu’on appelle ainsi ceux pour lesquels les trois déterminants fonctionnels tels
que ^ sont nuis. (Il s’agit là soit de points singuliers de la surface,
soit de points singuliers de la représentation paramétrique en «, v).
Les dérivées premières de f, ç, <p ne s’annulent donc pas en même temps et par suite r 2 (?/, v , 5, 0) est toujours supérieur à un nombre fixe positif. Si l’on choisit r assez petit il en est de même, pour 0 < t < t, de r2 («, v, 0, t) que nous supposerons supérieur à M2^>0.
Donc on a:
et par suite
long a b long A B
long c l
long C M
et puisque C est rectifiable c l’est.
La différence long II — long P tend donc vers zéro quand P tend vers C et l’on peut dire que: sur une portion de surface analytique ne contenant aucun point singulier la longueur d’une courbe C est la limite inférieure des longueurs des courbes de la surface dont C est la limite.
Nous avons déjà vu que si deux surfaces analytiques S et 2 ont le même d s2, à toute courbe analytique, ou composée d’un nombre fini d’arcs analytiques de l’une correspond une courbe de même longueur sur l’autre. La courbe que nous avons désignée par II est composée d’un nombre fini d’arcs analytiques, la définition de la longueur que nous venons de trouver prouve donc qu’à toute courbe rectifiable de S correspond une courbe de même longueur sur 2 et inversement.
Nous avons retrouvé le résultat classique pour que deux surfaces analytiques soient applicables Tune sur l’autre, les points de ces deux surfaces correspondant aux mêmes valeurs de w, v étant homologues: il est nécessaire et suffisant qu’elles aient même d s 2 (*).
(*) On pourrait étendre ce résultat à des cas plus généraux, en ne supposant pas les surfaces analytiques. Mais ce. qui précède suffit pour légitimer les applications que Ton fait de la méthode classique.
78. Demandons-nous maintenant si toutes les surfaces applicables sur une surface analytique sont analytiques.
Par exemple toutes les surfaces applicables sur le plan sont-elles analytiques ? — Soit C le cône
On sait, d’après la théorie classique, qu’il est applicable sur le plan Effectuons la transformation ponctuelle
'F ayant entre z0 et z, une variation totale égale h \z0 — z, A C correspond une surface T applicable sur (7; F est de révolution et n’est ni un cône, ni un cylindre, c’est une surface non analytique. Si en particulier nous prenons pour la fonction M7 l’une de celles qui ont été définies au chapitre III et qui ont des maxima et des minima dans tout intervalle (*) la surface F est une surface de révolution applicable sur le plan et ne contenant aucun segment de droite (**).
79. Des exemples analogues à celui qui précède peuvent être obtenus par des procédés différents. Occupons-nous toujours des surfaces applicables sur le plan.
La théorie classique montre que les développables analytiques sont applicables sur le plan. Soit S une telle développable, G l’une de ses génératrices, G partage S en deux morceaux Sn
Faisons glisser S2 le long de (7, puis faisons tourner S2 autour de G. Après cette double opération géométrique on obtient une nouvelle surface qui est applicable sur le plan ou plus exactement dont un morceau comprenant un segment de G , plus ou moins grand suivant la grandeur de la translation de est applicable sur le plan.
La même opération répétée un nombre infini de fois pour une infinité dénombrable de génératrices formant un ensemble partout dense sur la surface donnera, si les translations et les rotations sont convenablement choisies, une surface réglée applicable sur le plan et ne contenant aucun morceau de développable.
(*) C’est-à-dire que f(x) étant la fonction définie au § 48 nous posons U1' (x) = f (.r).
(*s) D’une façon plus précise la méridienne de I’ ne contient aucun segment de droite, mais de plus T ne peut contenir un morceau de surface gauche de révolution donc T ne contient pas de droite.
Lebesgue :
Prenons maintenant une développable analytique S et soit C une courbe analytique tracée sur 5. Réalisons la correspondance entre S et le plan, soit c la transformée de C. Soient A un point quelconque de C, P le plan tangent en A à S, Q le plan osculateur en A à C, et soit P le symétrique de P par rapport à Q.
Les plans P' ainsi définis enveloppent une développable S' dont on peut réaliser l’application sur le plan de façon qu’à C corresponde c. Si C n’est pas géodésique S et S sont deux surfaces différentes.
c partage le plan en deux régions A,, A2\ C partage S en deux régions St, S.2 correspondant respectivement à A, et Â2\ de même sur S' nous avons les deux régions S\, S \ •
Soit S la surface c’est une surface non développable applicable
sur le plan (*).
Pour bien définir 2, c’est-à-dire pour distinguer entre S , -f- S\ et S2 -f- S', nous prenons arbitrairement un point M sur S , ce point M fixera celle des régions que nous désignons par S , . Dans toutes les opérations ultérieures ce point il/ restera fixe.
2 peut être définie comme la surface applicable sur le plan, formée de deux morceaux de développables analytiques dont la frontière commune est la ligne correspondante à c, et qui autour de il/ est confondue avec S-, ce que nous rappellerons par la notation (S, c , M).
ct, Ci, c3,... cn étant n courbes analytiques planes ne se rencontrant pas, nous désignerons par 2 (S, c ,, c2, . . . cn, M) la surface applicable sur le plan, formée de morceaux de développables analytiques dont les lignes singulières — c’est-à-dire les frontières communes à deux morceaux analytiques — sont les courbes qui correspondent à c,, c2) . . . cn, et qui est confondue avec S autour du point M.
Soient maintenant c, , c',; c2, c'*; ... des courbes analytiques planes ne se rencontrant pas.
Considérons les surfaces
S, 2 (S, c ,, c , , M), 2 (S, ct, c',, c2, ct, il/)...,
si les courbes c,, c ; sont convenablement choisies, ces surfaces auront uné surface limite applicable sur le plan.
Pour obtenir l’exemple du paragraphe précédent il faut choisir pour
(¥) Ou du moins dont un morceau comprenant un arc de C est applicable sur le plan.
surface 5 le cône
pour courbes cn c' , celles qui correspondent aux parallèles de ce cône passant par les points An B , (notations du paragraphe 48) situés sur la génératrice
et pour point M , l’origine O.
Désignons par - {S, c,, c\, e.2 , c\,...0 > la surface ainsi obtenue.
80. On peut passer de cette surface à son développement par une déformation continue. Pour le voir, considérons le développement du cône S supposé fendu le long de la génératrice y = 0, z = x. Ce développement est un secteur que nous supposons placé dans le plan des x y du côté des y positifs, la génératrice y = 0, z — x ayant pour transformée la partie positive de l’axe des r, et la portion du cône voisine de cette génératrice et située du côté des y positifs ayant pour transformée la portion du plan des x y voisine de l’axe des x. Soit 5(0) ce secteur, c’est sur lui que sont tracées les circonférences c,-, c',-. Désignons par S (t) le cône
ou plus exactement la portion de cône applicable sur 5( 0) limitée par la génératrice y = 0, z — t x et qui, dans le voisinage de cette génératrice, est du côté des y positifs.
5(1) est le cône considéré précédemment 5-
Si t représente le temps, par une déformation continue conservant les longueurs, on passe de la surface S (0) (à l’origine des temps), au cône S (au temps 1). On passe de même de la surface 1 [S (0), c,, c t , c5, c'3 . . . cn , r'n , O ] à la surface I [.S, c(, c\, c*, c't . . . cn, c'n, 0\ par l’intermédiaire des surfaces
(0) D > O , Cn j C n , D] .
Ces surfaces ont, t restant fixe, une surface limite 2 [5(0, c, , c', . . . O j. La transformation ponctuelle
X = x, Y = y, Z=Wt (z)
qui permet de passer de cette surface de révolution, supposée entière, au cône S (t), supposé entier est définie par une fonction (z) qui admet entre z 0 et z{ une variation totale égale à (z0 — zt) (*). Donc cette surface est applicable sur 5(0).
(*) On le verrait en reprenant les raisonnements du paragraphe 18.
Lebesgue:
Comme les surfaces 8(0), 2 [S (0), c,, c\,... cM, c'„, 0], 2 [8(0), c,, c',,... 0] sont identiques, on voit que l’on passe par une déformation continue du secteur plan à la surface de révolution 2 (8, c,, c,, O).
Il est facile de réaliser des modèles des surfaces de révolution applicables sur le plan que nous venons d’obtenir.
On sait, à l’aide d’une feuille de papier, réaliser le modèle d’un cône de révolution par une déformation image de la déformation du cône S(t). De même on peut réaliser une déformation du papier, image de la déformation de la surface 2 [8 (£), c,, O], ce qui donne un modèle de la surface 2 [8, c,, O] laquelle est formée de deux morceaux de cônes de révolution.
D’une manière générale on sait former un modèle de 2 [s, c, c’,,... c n , O] par la déformation d’une feuille de papier; donc par ce procédé on réalise, avec telle approximation que l’on veut, l’image de 2 (8, c,, c',, r., , c's, . . . , O).
Si l’on admet que l’on peut réaliser par déformation du papier l’image de toute développable analytique, les images de toutes les surfaces définies au § 79 s’obtiendront par le même procédé.
La déformation d’une feuille de papier nous permet donc d’obtenir des images des surfaces non analytiques applicables sur le plan aussi parfaites que celles que l’on obtient par le même procédé pour représenter les surfaces analytiques. En ce sens, on peut dire que, pour prévoir l’existence de surfaces non analytiques applicables sur le plan, il suffisait de remarquer combien la forme des surfaces physiquement applicables sur le plan diffère de celle des surfaces développables.
Notons encore que le procédé en apparence le plus simple, celui qui s’est le premier présenté à l’esprit, permettant de faire correspondre un problème géométrique au problème physique de la déformation des surfaces, conduit à la considération de fonctions continues n’ayant pas de dérivées.
81. Les résultats précédents sont en contradiction avec les énoncés classiques relatifs à l’application et à la déformation des surfaces. Nous avons, par exemple, trouvé des surfaces applicables sur le plan et non développables.
La contradiction n’est qu’apparente. Les énoncés classiques sont en effet obtenus à l’aide de raisonnements qui supposent implicitement ou explicitement l’existence et la continuité de toutes les dérivées que l’on est conduit à considérer. Le nombre de ces dérivées varie d’une question à l’autre, dans quelques raisonnements on suppose même que les fonctions dont on s’occupe sont analytiques, de sorte que les énoncés classiques ne sont démontrés que pour certains ensembles de surfaces qui varient suivant la nature de la question. D’une
manière générale, les démonstrations sont valables pour l’ensemble des surfaces analytiques et, le plus souvent, les surfaces analytiques ne forment qu’une classe très particulière dans l’ensemble de celles auxquelles s’appliquent les raisonnements employés.
Prenons par exemple ce théorème: Toutes les surfaces applicables sur le plan sont développables.
La démonstration qu’en a donnée Ossian Bonnet (*) s’applique a toutes les surfaces ayant des rayons de courbure principaux variant d’une façon continue. En effet Ossian Bonnet démontre que si x , y , z sont les coordonnées d’un point de la surface, a, /3 celles du point correspondant du plan, on doit avoir
d vd
d ou d p
a a dp
les trois
fonctions
l’une d’entre elles, et la théorie ordinaire du déterminant fonctionnel suppose la continuité des dérivées qui interviennent dans le jacobien.
Les dérivées secondes
doivent donc exister et être con-
tinues pour que le raisonnement d’O. Bonnet ait un sens, ce qui revient à supposer que la surface jouit de la propriété géométrique indiquée.
Les surfaces construites au paragraphe 78 nous montrent que non seulement l’énoncé du théorème d’ Ossian Bonnet n’est légitimé que pour certaines surfaces mais encore qu’il n’est exact que si l’on fait certaines restrictions sur la nature des surfaces considérées.
82. Comme autre exemple prenons la réciproque du théorème d’Ossi an Bonnet :
Toute surface développable est applicable sur le plan.
On la démontre ordinairement en supposant que l’on appelle surface développable la surface formée par les tangentes à une courbe gauche ayant des plans osculateurs variant d’une façon continue, car on met le d s 2 de la
(*) Annali di Matematica, 2.c Série, Tome VII. Cette démonstration est reproduite avec les mêmes notations dans le Tomé I des Leçons sur la théorie des Surfaces de M.r Darboux et dans les Traités d’ Analyse de MM,” Jordan et Picard,
Lebesgue:
surface sous la forme
d s] = \ d s d l - j- il
ds
if
d s -f dl — i l
ds
(notations du traité d’Analyse de M.r Picard), R désignant le rayon de courbure de la courbe gauche.
On donne couramment au mot surface développable deux significations distinctes. On appelle ainsi:
l.° Une surface décomposable en cônes, cylindres et surfaces engendrées par les tangentes à une couibe gauche.
2° La surface enveloppe d’un plan dépendant d’un paramètre. - — C’est cette définition qui sert dans le théorème d’OssiAN Bonnet.
Soit
ce plan. — L’enveloppe est définie par cette équation et
les dérivées étant prises par rapport au paramètre t dont dépend le plan. C’est-à-dire que l’on obtient l’équation de la surface en résolvant par rapport à t cette seconde équation et en portant dans la première. D’après la théorie des équations implicites cela suppose l’existence et la continuité de u" , v'\ w", p" ; mais il n’en résulte pas que la surface soit développable au sens 1. Supposons en effet que cp " soit continue, le plan
a une enveloppe. Les génératrices données par (1) et
varient d’une façon continue. Si donc la courbe donnée par (1), (2) et
o — 2 ij -(- çp (t)
était tangente aux génératrices elle serait rectifiable. Or on peut prendre {t) à variation non bornée, donc la surface (11, (2) est développable au sens 2 sans l’être au sens 1. Il est d’ailleurs évident que toute surface développable au sens 1 ne l’est pas nécessairement au sens 2.
L’énoncé de la réciproque du théorème d’OssiAN Bonnet suppose donc que le mot développable ait le sens restreint donné au commencement de ce paragraphe,
Pour obtenir un résultat un peu plus général nous allons rechercher dans quels cas on peut appliquer sur le plan un cylindre, un cône, une surface formée des tangentes à une courbe gauche.
83. Pour qu’un cylindre soit applicable sur le plan il faut qu’entre deux quelconques de ses points on puisse tracer une courbe rectifiable. Si les deux points choisis ne sont pas sur une même génératrice la projection de cette courbe, sur le plan de la section droite du cylindre, ne se réduit pas à un point et par suite est une courbe portée par la courbe section droite; c’est-à-dire que si
est la section droite la projection considérée a des équations qui s’obtiennent en remplaçant dans ces formules t par une fonction continue d’un paramètre.
La projection étant rectifiable, la section droite l’est aussi (*).
Four qu’un cylindre soit applicable sur le plan il est donc nécessaire que sa section droite soit rectifiable; cela est aussi suffisant. En effet prenons sur la section droite une origine O, et faisons correspondre à tout point a de cette section droite le point .4 de l’axe des x tel que O A soit égal à la longueur de l’arc O a de section droite. Faisons correspondre de plus à toute génératrice une parallèle à l’axe des y (les axes sont rectangulaires) les longueurs portées par les génératrices étant conservées. Cette correspondance réalise l’application.
Soient en effet c une courbe du cylindre, Cia courbe correspondante du plan, a et b deux points de c, A et B les points correspondants de C, a, et b{ les points de la section droite appartenant aux mêmes génératrices que a et b, ^4 , et B{ les points correspondants du plan. On a évidemment
et par suite A B^> a b.
Les deux trapèzes rectangles aalblb1 AAtBtB ont mêmes bases, donc la différence entre les hypoténuses est inférieure à celle des hauteurs,
A B — a b j> A , /?, — «, bt .
(*) C’est de là qué résulte une propriété qui nous a déjà servi: sur un cylindre dont la section droite n'est pas rectifiable, les seules courbes rectifiables sont portées par les génératrices.
Lebes que:
D’où, si l’on divise c en arcs tels que a b lJB—2ab = 2 (TB — ab) > S ÇUB{ — ~âj)l ) = 2 A, B, - 2 a ,T, .
Les deux premières sommes tendent vers les longueurs de C et c, les deux dernières vers les longueurs des projections de C et c sur l’axe des x d’une part; sur la section droite d’autre part. Ces deux dernières sommes sont égales, donc C et c ont la même longueur.
84. Résolvons le même problème pour les cônes. Soit un cône ayant pour sommet l’origine, s'il est applicable sur le plan il contient des courbes rectifiables non portées par les génératrices. Soit
une de ce courbes. La courbe rectifiable
