?(C „ KO

\jf 8 + f -f V

\lf* + <?* +

est portée par une directrice sphérique du cône. On appelle ainsi pour le cône dont les génératrices ont les cosinus directeurs

« = /3 = ?1(0î 7 = MO

les courbes

x — kf{ (0, y = Jcyl(t), z = (0,

k étant indépendant de t. .

Dans un cône applicable sur Je plan la directrice sphérique est donc rectifiable. Et réciproquement tout cône à directrice sphérique rectifiable est applicable sur le plan comme on le voit en faisant correspondre à la directrice sphérique un arc de cercle de rayon égal à celui de la directrice sphérique et aux génératrices des rayons de cet arc.

Dans cette application si la directrice sphérique a une longueur supérieure à la circonférence qui porte sa transformée, à un point du plan correspondront plusieurs points du cône; mais autour de chaque point du cône, le sommet excepté, on peut trouver un fragment du cône pour lequel la transformation précédente réalise une correspondance biunivoque avec un certain domaine du plan; cette correspondance conserve les longueurs comme le montre un raisonnement analogue à celui du précédent paragraphe. On dit d’un tel cône qu’il est applicable sur le plan sans rechercher si après l’application un point du plan correspond ou non à un seul point du cône.

On peut encore dire que la condition nécessaire et suffisante pour qu’un cône ou un cylindre soit applicable sur le plan est qu'il existe sur la sur face une courbe rectifiable rencontrant toutes les génératrices , et ne passant pas par le sommet s’il s’agit d’un cône.

Remarquons que, puisqu’il existe des fonctions dérivables à variation non bornée, il existe des courbes ayant des tangentes en tout point et qui ne sont pas rectifiables, donc des cônes et des cylindres ayant des plans tangents suivant chaque génératrice et qui ne sont pas applicables sur le plan.

85. Considérons une surface réglée et supposons qu’on puisse, sur cette surface, tracer deux courbes rectifiables ne se rencontrant pas et rencontrant chacune une fois chacune des génératrices; soient x (t ), y (/), z (t) ; x (9), y (9), zlfj) ces deux courbes. A chaque point t de la première courbe faisons correspondre le point 0 de la seconde situé sur la môme génératrice, alors 6 est une fonction continue toujours croissante ou décroissante de t. En remplaçant 0 par sa valeur en fonction de t la seconde courbe devient x, (t), y , (t), z, [/).

La courbe

x = x{t) — x,(t\ y = y (t) — y,(/), z = z {t)~ zt(t) rencontre toutes les génératrices du cône directeur de la surface dont le sommet est l’origine, cette courbe étant rectifiable, le cône est applicable sur le plan.

Ceci posé nous allons démontrer que pour que la surface formée par les tangentes à une courbe gauche soit applicable sur le plan il est nécessaire et suffisant que son cône directeur soit applicable sur le plan. Dans cet énoncé nous appelons surface applicable sur le plan une surface à tout point de laquelle on peut faire correspondre un point du plan, cette correspondance conservant les longueurs; à un point du plan correspond un nombre fini ou infini de points de la surface.

D’après ce qui précède la condition est nécessaire; pour montrer qu’elle est suffisante, effectuons d’abord l'application du cône directeur sur le plan. Nous allons maintenant faire correspondre à la courbe gauche donnée F une courbe plane y, les arcs correspondants ayant la môme longueur, la tangente en tout point a de y étant parallèle au développement de celle des génératrices du cône directeur qui est parallèle à la tangente à F au point A homologue de a (*).

(*) Cette propriété du développement de l’arête de rebroussement doit être considérée comme la généralisation du théorème classique: la courbure de l’arête de rebroussement est conservée.

Lebesgue :

Pour construire y, divisons r à l’aide des points A, correspondant aux valeurs du paramètre, et portons sur les génératrices Odt correspondantes du développement du cône directeur des longueurs Oa'i = s(ti ) — s ) ; s ( t ) représentant la longueur de l’arc (0, t) de r.

Soit O M, le vecteur somme de 0«',, Od2... Ou';. Considérons le polygone O M , Mi Ms . . . , si nous supposons t0 = 0 la longueur O M2 . . . M; comptée sur ce polygone est égale à s ( t Faisons correspondre ce polygone à T de façon que les longueurs soient conservées; alors M, correspond à A,.

Introduisons entre les t, de nouvelles valeurs de /, d’où la suite de points

JL (ou O), BtJ B2

Bj (ou A ! 1 , Bj | | , Bj 1 2

et un nouveau polygone de sommets

B, { (ou /F) . . .

O, Nt, Ni...Nj,

Supposons que l’on augmente indéfiniment le nombre des tt de façon que le maximum de tt — L-i tende vers zéro et montrons que ces polygones ont une limite, il suffira de démontrer que les points correspondant aux valeurs choisies tt tendent uniformément vers des points limites.

Soient Mi et deux sommets correspondants des deux polygones considéré?. On a:

long Mi Nai ^ | long O M , — long O Nai |

^ V J long M,- Mh , — Ion g Na. | .

La longueur M{ d/, , est celle du segment O a', ; celle de N„.Na^ est celle de la résultante des segments

0 Ob'Bi

ovmt.

La somme des longueurs de ces segments est O d n et ils font entre eux des angles inférieurs à e, si s est le maximum des angles a'. Oa’/-, donc

0 ^ long Mi Mi -, — long Nai Nai , ^ £ [s ( t ,) — s (/,-,)] .

Ainsi si l’on s’occupe de l’arc (0, t ) de T, quels que soient les nouveaux points choisis sur T entre les An la distance entre deux points correspondants des polygones est inférieure à £ s ( t ).

Or e tend vers zéro avec le maximum de t ; — Les polygones ont

donc une courbe limite y.

Prenons pour axe des x dans le plan la génératrice O a\ du développement du cône directeur; si l’intervalle (0, t) est assez petit (*) l'angle des génératrices 0«',, O a\ . . . avec l’axe des x est inférieur à un droit et par suite les polygones dont y est la limite ont des équations de la forme

y — ft (*), y = ft 0*0 • • •

Supposons que ces équations représentent, non les polygones tels que O A, A,... mais les courbes que l’on obtient en raccordant les côtés consécutifs A;—i Ajj A( A,-+t par des arcs de cercles. Nous supposerons ces arcs choisis assez petits pour que les longueurs des courbes tendent vers la longueur commune des polygones, c’est-à-dire vers celle de F. Les fonctions fi(x) ont des dérivées continues. De plus, quand i augmente, la dérivée f'i(x0) tend vers le coefficient angulaire de la génératrice du développement du cône directeur qui correspond au point x = x0 de y, soit 9 ( x0 ).

Les fonctions bornées dans leur ensemble fj(x) tendent vers <p (r), donc on a:

Lim | f'i (x) d x — Lirn f{ (x) = j 9 (.r) d x. b ü

Donc y a pour équation :

V= | ? {x)dx,

et comme y (x) est une fonction continue

et les tangentes à y sont bien parallèles aux génératrices correspondantes du développement du cône directeur.

De plus

Lim J \Jl -f f'i {x) d x = J v 1 + f (x) d x

donc y a même longueur que F.

(*) Cette restriction est sans importance, il suffit en effet de démontrer que, autour de chaque génératrice, on peut trouver un morceau applicable sur le plan pour qu’il en soit de même pour toute la surface.

Lebesgue :

86. Nous allons maintenant définir la correspondance entre le plan et la surface. A tout point de r correspond un point de y comme il a été dit. A un point A de la surface situé sur la génératrice passant par le point A, de r correspond un point a situé sur la tangente à y au point a{ homologue de Ai et tel que n, a — At A, ces deux segments étant dirigés par rapport à y et T, dans des sens correspondants.

Désignons par A le point du cône directeur situé sur la génératrice parallèle à A, A et tel que