A,A = OA
et par a le développement de A'. Alors on a
Soient C une courbe rectifiable de la surface, r, G", c les lieux des points
o, A'f a ' correspondant aux points A de C. On a les égalités segmentaires, si A et B sont sur O,
TB = TTT + ZB7,
a b — alb{ -J- a b ,
donc
| long AB— long a b | ^ [ long At P, — long o, bt | 1 long A' B' — long a b' |.
Supposons que C ne rencontre qu’une seule fois chaque génératrice. Alors C’ est rectifiable, § 85, et l’on a:
| long A B — long a b | ^ j long arc A, B, de r — AtBt\-\-
-f | long arc «, bt de y — at bt | -f- | long arc A B de C ' — A B' \ +
-J- | long arc a b' de c' — a b' |.
Si donc on considère un polygone P inscrit dans C et les polygones p, P',
p, P, , correspondants on a :
| long P — long p 1 ^ (long F — long P,) + (long y — long p,) -f + (long C — long P') -f- (long c — long;;').
Donc C et c ont meme longueur. Ce résultat s’étend immédiatement aux courbes qui rencontrent un nombre fini de fois les génératrices. Pour les autres, qui sont limites de courbes ne rencontrant les génératrices qu’un nombre fini de fois, nous pouvons affirmer que la longueur de la courbe de
la surface est au moins égale à la longueur de la courbe correspondante du plan.
Mais la portion considérée de y est convexe, les tangentes aux deux extrémités font un angle inférieur à un droit ; donc, si l’on ne considère que l’une des nappes de la surface (limitée par T), la correspondance avec le plan est univoque.
Soit, dans la portion du plan correspondante, un segment ab\ considéronsle comme la courbe c. On voit immédiatement que c est rectifiable, donc c l’est et par suite aussi C. De là résulte que l’on a:
A B ^ ab.
Ceci posé, soit une courbe rectifiable quelconque C , inscrivons dans cette courbe une ligne polygonale P d’un nombre fini ou infini de côtés, en ayant soin que tous les points de rencontre de C et de T soient des sommets (ou limites de sommets) de ce polygone, p étant le polygone correspondant on a:
long p ^ long P ,
d’où
long c ^ long C.
En rapprochant ce résultat du précédent on a:
long c = long C
et la surface est applicable sur le plan.
Nous savons donc construire la courbe gauche la plus générale dont les tangentes forment une surface applicable sur le plan; il suffit en effet de se donner le cône directeur applicable sur le plan, ce que nous savons faire, et la fonction continue positive croissante s (t) et d’en déduire T par une construction analogue à celle qui a donné y.
87. Dans les paragraphes précédents on a appelé surface applicable sur le plan une surface S qui correspond à une surface 2 portée par le plan, la correspondance ponctuelle entre S et à étant biunivoque et conservant les longueurs.
N étant donnée, 2 n’est pas déterminée. En effet si S est un cône on peut prendre pour 2 un secteur. Soit G l’un de ses rayons qui partage 2 en 2, et 2, et soit 2\ le symétrique de 22 par rapport à (î; on peut prendre pour 2, 2, -f 2'? .
Lebesgue:
Les surfaces 2 que nous venons de définir relativement aux cônes et aux surfaces formées des tangentes à une courbe sont telles qu’autour de chacun de leurs points (ceux qui correspondent au sommet du cône, et aux points de l’arête de rebroussement exceptés) on puisse trouver un morceau de 2 ne .recouvrant qu’une fois le plan. Soit 2{ un tel morceau, S, le morceau correspondant de S ; entre St et 2L la correspondance ponctuelle est biunivoque et 2t est un domaine plan.
C’est la surface - ainsi définie, qui est unique puisque deux de ces surfaces seraient composées de morceaux égaux disposés pareillement, que l'on appelle le développement de S.
88. Nous pouvons maintenant donner des exemples de courbes gauches dont les tangentes forment une surface non applicable sur le plan.
y(t) étant une fonction dont la dérivée est continue mais à variation non bornée, nous donnent un tel exemple. On sait que l’on peut même supposer que çp "(0 existe, donc il y a des courbes gauches ayant en tout point un plan oscillateur , et dont les tangentes forment une surface non applicable sur le plan. Une telle surface admet des plans tangents ; le plan tangent est le même tout le long d'une génératrice ; le plan tangent dépend donc d’un seul paramètre.
89. Nous terminerons en cherchant les surfaces de révolution applicables sur le plan.
Démontrons d’abord que, si un morceau de surface de révolution est applicable sur le plan, les méridiens correspondent à des droites parallèles ou concourantes. Il est évident que les méridiens étant des lignes de longueur minimum ou géodésiques ont pour transformées des géodésiques du plan, c’est-à-dire des droites.
Soient A, B deux points d’un méridien, «, b leurs correspondants dans le plan; A\ B deux points d’un autre méridien situés respectivement sur les parallèles de A et 2?, a', b' leurs homologues.
On a ab = a'b'\ d’ailleurs les deux courbes de la surface qui correspondent aux deux droites a ô, a b' sont symétriques l’une de l’autre par rapport au plan bissecteur des méridiens de A et de A'; elles sont égales et
La figure a b b' a' est donc un trapèze isocèle.
Soient A ", B" les symétriques de A, B pur rapport au plan méridien de A a b" b à est symétrique de a b b' g par rapport à b' donc les trois droites a b) à b\ a" b " ou bien concourent en un même point O qui est le centre de la circonférence passant respectivement par «, a , a" et par b , //, b"] ou bien sont parallèles et a, a', a d’une part, &, //, b” d’autre part sont en ligne droite, a a et a b étant perpendiculaires.
Si l’on fixe la position d’un méridien par son angle 6 avec le méridien de A et si A' correspond à 0„, le raisonnement précédent montre que tous
les points du méridien de A correspondant aux valeurs > m et n étant en-
tiers, ont leurs homologues sur la circonférence ou la droite a a' a"; ils forment un ensemble partout dense sur cette circonférence. 11 en est de même pour les points du méridien de B. Les points des méridiens de .4 et B correspondant à la même valeur de 6 sont sur le même rayon. Donc les méridiens ont pour homologues des droites parallèles ou concourantes et les parallèles correspondent aux trajectoires orthogonales de ces droites.
Supposons d’abord que les droites homologues des méridiens soient parallèles, alors les parallèles sont égaux, donc ont le même rayon et puisque les méridiens sont rectifiables, les seules surfaces de cette nature sont
x — B cos 0, y — B sin 0, z y (l), f étant à variation bornée.
Supposons maintenant les droites concourantes. Soient A, B, G trois points du même méridien, en conservant les notations précédentes on a:
n b arc b b' — arc a a'
b c arc c c — arc b b'
c’est-à-dire que si l’axe des z est l’axe de révolution, la méridienne est de la forme z = f(x)i et s étant son arc, on a:
= constante
quel que soit o x. La distance de deux points d’abscisses x0 et xt étant au moins | x0 — xl |, la constante est au moins égale à 1, nous poserons
Si K est nul, la surface est engendrée par l’axe des x tournant autour de l’axe des 0, c’est le plan des x y.
Lebes (j ne:
Supposons maintenant K positif. Une solution particulière du problème s’obtient en effectuant la transformation ponctuelle
(<p ayant dans tout intervalle de longueur / une variation totale égale à /) sur le cône
z2 — K z ( x 5 + IJ2) 5
nous allons démontrer que c’est la solution générale.
Soit en effet z — f{x) une méridienne, si v(x) est la variation totale de f entre x0 et .r, la surface de révolution dont z = v (x) est la méridienne est aussi applicable sur le plan. Nous allons démontrer que v (x) est égale à K (x — x„).
Soient deux points (æ0, x,) de la courbe z — v(x), la longueur de l’arc de cette courbe compris entre ces deux points est supérieure à
V (x0 — xtf -\-v{xi) — v (x0) ;
cette quantité doit donc être inférieure à K\xi — x0 \ c’est-à-dire que l’on a:
0 < v 0*0 ~ v ( Xo ) ^ Kt
Xi — .r0
Ceci posé considérons un polygone inscrit dans z = v (x) et le polygone Q inscrit dans z = K (x — x<) dont les sommets ont les mêmes abscisses, il est évident que
long P ^ long Q.
Des considérations de géométrie élémentaire montrent que, si R est le polygone inscrit dans z= K(x — xn) — v (x) dont les sommets ont mêmes abscisses que ceux de P et Ç, on a :
long Q — long long R — (x{ — x0 )
si l’on s’occupe de l’intervalle x{ — x0 .
Si l’on fait tendre vers zéro le maximum de la longueur des côtés de P, le second membre ne tend vers zéro que si v (x) — K (x — x0) = 0, or le premier membre tend vers zéro, donc :
Les seules surfaces de révolution applicables sur le plan sont donc celles que
Intégrale , Longueur , /I /re
/’o» obtient par la transformation du § 78 appliquée aux surfaces de révolution analytiques applicables sur le plan , l’axe de révolution étant 0 z.
90. Considérons une surface applicable sur le plan. Si l’on exprime les coordonnées d’un point de cette surface en fonction de celles du point correspondant du plan, on a la surface sous forme rectifiable, elle est donc quarrable.
Nous allons démontrer que dans l’application sur le plan les aires sont conservées. Le raisonnement s’étendrait d’ailleurs aux surfaces applicables sur une surface analytique quelconque.
Soit une surface S applicable sur le plan (î/, v). Divisons le plan (u, v ) à l’aide de parallèles aux trois directions w = 0, &> = 60°, w = 120° en triangles équilatéraux. A un réseau de ces triangles correspond un polyèdre inscrit dans la surface S\ chaque face de ce polyèdre étant d’aire inférieure au triangle correspondant du plan («, v ), l’aire de S est au plus celle du domaine correspondant dans (m, v).
Considérons maintenant une suite de surfaces S ; tendant vers S. Choisissons arbitrairement un nombre l et soit le minimum de la longueur des courbes T, de S; qui correspondent à celles T joignant les couples de points du plan («, v ) qui sont distants d’au moins l.
La plus petite limite des m quand — tend vers zéro est au moins /.
En effet si elle était inférieure à l on pourrait trouver une suite de courbes T,. , . . . dont les longueurs auraient une limite inférieure à L Or cela est
impossible car on démontrerait l’existence d’une courbe de longueur inférieure à l limite de certaines des courbes rfj, r c’est-à-dire d’une courbe correspondant à une courbe r du plan (u, v).
Donc si i est supérieur à un certain nombre i0 les courbes joignant des points des côtés opposés d’un carré de côté l du plan («, v) ont pour homologues des courbes de la surface Si de longueurs supérieures à l — e.
Soient M et M ] les parties de S et Si correspondant à ce carré. Nous pouvons sans augmenter la plus petite limite des aires des Si, supposer que les surfaces Si sont analytiques.
Divisons M, par deux séries de courbes orthogonales CP; C v homologues de courbes du plan (m, v ) joignant des points des côtés opposés du carré. Soient aj,h fa longueur de l’arc déterminé sur Ck par Ü'j et C j+, et a'*,j la longueur de l’arc déterminé par Cj et Cj+, sur Cf. L’aire de M; est la limite de 1a somme
^ 2^ ahj a hj
Lebes g ne :
quand ]e maximum de Okj et a kj tend vers zéro. Or cette somme est évidemment supérieure à ( / — e)2, donc la plus petite des aires des M{ est P.
Lorsqu'une surface est applicable sur un plan, les parties correspondantes du plan et de la surface ont donc même aire si elles sont quarrables et, si elles ne le sont pas, mêmes aires intérieure et extérieure.
Lorsque deux surfaces analytiques sont applicables l’une sur l’autre, les longueurs, les aires et les angles sont conservés; on voit que lorsqu’il s’agit de surfaces non analytiques les longueurs et les aires sont encore conservées, mais les angles ne le sont plus (*).
