CHAPITRE VI

Le Problème de Plateau.

91. Nous nous proposons dans ce chapitre de démontrer l’existence d’une surface S ayant pour frontière un contour C donné et pour aire intérieure l’aire minima de C.- L’aire de toute autre surface ayant pour frontière C sera au moins égale à celle de S; en ce sens l’aire de S sera un minimum et la surface S pourra être dite minima. Dans le cas où l’on se limite à la considération des surfaces ayant tous les éléments que Ton considère ordinairement (plans tangents, rayons de courbure, etc.) ce problème a reçu le nom de problème de Plateau.

Il n’est pas démontré que le problème de Plateau ait une solution; nous allons voir que si l’on n’astreint la surface minima à aucune condition supplémentaire, l’existence de cette surface peut être facilement démontrée. Les résultats que nous allons obtenir peuvent ainsi être considérés comme préparant l’étude de l’existence de la solution du problème de Plateau.

(*) Supposons réalisée P image matérielle d’une surface. L’aire, au sens usuel du mot, d’une telle surface peut être mesurée par la masse de la matière qui la constitue. Dans une déformation de la surface cette mas~e ne change pas, aussi l’aire, au sens usuel du mot, ne changé pas. L’une des conditions que doit remplir l’aire, au sens mathématique, pour qu’on puisse l'assimiler à l’aire, au sens usuel du mot, et pour qu’on puisse considérer la déformation physique d'une surface comme l’image d’une déformation géométrique, est donc d’être inaltérée par les déformations géométriques qui conservent les longueurs.

Les raisonnements qui suivent s’appliquent a d’autres problèmes que celui de Plateau; pour énoncer ces problèmes nous allons d’abord définir certaines intégrales de courbe et de surface.

92. Considérons une courbe C dont les points dépendent d’une façon continue d’un paramètre t , une fonction de t sera dite attachée aux points de C. Supposons C rectifiable et f(t) continue. Divisons C en un nombre fini d’arcs partiels de longueurs ln /2... et soient ft , f»,... des valeurs de f pour certains points de ces arcs partiels. La somme 2 l{ fi quand le maximum des l, tend vers zéro, tend vers une limite déterminée (*) que nous représenterons par

Si f(t) = 1 l’intégrale représente la longueur.

Considérons une surface quarrable S dont les points dépendent d’une façon continue de ( u , v) et une fonction continue f(u, v) attachée aux points de cette Surface. Divisons S en un nombre fini de morceaux quarrables d’aires a,, et soient fn fi,... des valeurs de f pour certains points de ces mor¬

ceaux quarrables. Quand le maximum du diamètre de ces morceaux et le maximum de «,-(**) tendent vers zéro la somme 2f;ai tend vers une limite déterminée que nous représenterons par

|J /> , v)da.

Si f(u , v) — 1 l’intégrale représente l’aire.

On aurait pu définir ces intégrales par le procédé suivant. 11 est facile de faire correspondre à C un segment, les longueurs étant conservées; il est possible de démontrer qu’on peut établir entre les points de S et les points d'un plan une correspondance conservant les aires (***). Ces correspondances établies, elles définissent sur la droite ou dans le plan une fonction F qui correspond à f ; l’intégrale de F est égale à l’intégrale de courbe ou de surface que nous avons définie.

(*) Il s u Hit de reprendre le raisonnement classique relatif à l’existence de l’intégrale d’une fonction continue pour obtenir ce résultat.

(**) Il est facile de démontrer que cette seconde condition est une conséquence de la première.

(***) Il se peut que cette correspondance ne soit pas univoque.

Lebesgue:

L’un et l’autre procédé permettent d’indiquer dans quels cas on dira que f est sommable et par suite d’étendre la définition de l’intégrale au cas où f n’est pas continue; mais cela ne nous sera d’aucune utilité.

93. Considérons une famille de courbes rectifiables G et une famille de surfaces quarrables S. Et soit f une fonction définie dans l’ensemble des points de tous les C ou S, et jamais négative. Nous supposerons que f est continue dans cet ensemble. Les intégrales

J fds, J J/’da

ont alors un sens. Démontrons que si C (ou S) est la limite des courbes Ci (ou des surfaces S{) prises dans la famille considérée, l’intégrale relative à Clou S) est au plus égale à la plus petite des limites des intégrales relatives à C{ (ou S,).

Divisons C (ou S) en un nombre fini de morceaux de longueurs (ou d’aires) «î, , m2 . . . et soient y,, y, . . . les valeurs minima de f dans les morceaux correspondants. A la division de C (ou S) correspond sur Ci (ou SA une division en morceaux de longueurs (ou d’aires) m\, w*,...; les valeurs minima de f dans les morceaux correspondants sont y*, y*,...

Quand i augmente indéfiniment yj a pour limite yj et la plus petite des limites de m) est au moins égale à mj , donc la plus petite limite de 1jm)y) est au moins égale à Zj ntj yj .

Il suffit d’augmenter indéfiniment le nombre des morceaux de façon que le maximum de leurs diamètres tende vers zéro pour avoir la propriété énoncée.

En adoptant des dénominations dues à M.r Baire on peut dire que l’intégrale considérée est partout égale à son minimum ou encore que, en tant que fonction de C (ou 5), elle est semi-continue inférieurement.

Si la famille de courbes (ou surfaces) comprend toutes les surfaces rectifiables (ou toutes les surfaces quarrables) la valeur de l’intégrale pour C (ou S) est exactement la plus petite limite des intégrales relatives aux courbes (ou surfaces) dont C (ou S) est la limite (*); puisqu’on peut choisir les Ci (ou Si) de manière que y} ait pour limite yj.

(*) Cette propriété aurait pu être prise comme définition de l’intégrale considérée. Cette méthode a l’avantage de suggérer des définitions des intégrales

f(x,y, x',y') dt

dy d]i

du' d x ’

du’

dj

dv

94. Supposons que les courbes C (ou que les surfaces S) soient toutes celles qui satisfassent à certaines conditions aux limites, — extrémités de C données, ou sur des courbes ou des surfaces données, — frontière de S donnée ou sur des surfaces données.

Nous supposerons de plus que C (ou S) est assujettie à rester dans une portion limitée II de l’espace, ou que C se déplace sur une surface 1 n’ayant pas de nappe infinie, f étant une fonction continue dans II ou sur S, nous nous proposons de chercher si la fonction

?(£)-= |/'^s [ou 9 (S) = Jj fdaj

atteint son minimum.

Lorsque l’on cherche à démontrer qu’une fonction f(E) de certains éléments E atteint son minimum, par la méthode qui sert pour les fonctions continues de points, on est conduit aux deux opérations suivantes :

I. Choisir une suite d’éléments E,, E2 . . . ayant un élément limite e, et tels que f(E ,), f(E2) . . . tendent vers la limite inférieure ni f(E) de f(Ei).