II. Démontrer que f(e) — mf{E

D’après ce que nous venons de dire si c (ou s) est la limite de C,(ou Si) o ( c ) [ou f (s)] est au plus égale à la plus petite des limites des © (Ci) [ou <j> (£>,)] ; d’ailleurs © (c) [ou <j>(s)] est au moins égale à m y (C) [ouwcp(S)], donc nous avons effectué l’opération II.

95. Pour effectuer l’opération I, nous emploierons une méthode que M.r Hilbert a indiquée dans une note des Nouvelles Annales (Août 1900), note qu’il avait déjà présentée en septembre 1899 au congrès de Munich.

Ou bien on sait qu’il existe un élément e tel que f(e) — m f(E) ou bien on sait qu’on peut trouver une suite d’éléments E{ , E2 . . . tels que f(Et), f(E2) . . . aient pour limite m f(E). Tout revient à choisir parmi les E, une suite d’éléments ayant un élément limite.

Nous supposerons que E est une fonction de n variables, continue par rapport à l’ensemble æ, , x2 . . . xn de ces variables, définie dans une portion D de l’espace (æ, xs . . . xn), et que l'on a toujours ' E j < P. Alors E sera dite

dans le cas où les fonctions f sont continues et jamais négatives. Le cas où f est continue se ramène à celui-là par l’addition d’une constante. Avec ces définitions on peut faire des applications plus étendues des remarques qui suivent,

Lebesgue:

la limite (*) de Et si, quel que soit e, on peut choisir i assez grand pour que l’on ait:

(P 0) | E (X\ , X-2 , ... Xn ) Ei (p (Æi , X2 . . . Xn) | £

pour tout point de D.

M.r Hilbert remarque que si l’on a certains renseignements sur la variation de la fonction E; il suffit de choisir parmi les E{ une suite d’éléments ej tels que, à tout point d’un ensemble A partout dense dans D, corresponde une valeur de Ej qui a une limite quand j augmente indéfiniment, pour que les Ej aient une limite. Pour préciser, nous supposerons que l’ensemble des nombres dérivés des Ej considérées comme fonctions d’une seule, quelconque, des variables xl} x2 ... xn soit borné.

Nous supposons donc que l’on ait, quels que soient i, xl} x2 ... xn, h, p

Ei (xi, X2 ... Xp, Xp+ 1 . . . Xn) — Ej (Xi , Xz , . . . Xp + h, Xp+ 1 . . . Xn)

M étant fixe. Nous prenons pour A un ensemble dénombrable partout dense dans P; soient P,, P2,... les points de A. Soient e, , e2 . . . des nombres décroissant jusqu’à zéro.

Les différentes valeurs Ei{Pi) étant toutes, en valeur absolue, inférieures à Pont au moins une valeur limite «. Nous appelons E\ celles des Et telles que:

I Ei (P,) — | < e,

et nous appelons e, l’une d’elles.

Les valeurs P'(P2) ont au moins une valeur limite a2 . Nous appelons Ej celles des Ej telles que

| Ej(Ps) — a2 | <e2,

e2 est l’une des Ej. Nous définissons de même e3, e4,...j «3, a4,...

Nous allons montrer qu’on peut définir une fonction e continue dans D par les égalités e (P,) = .

Des égalités (1) on déduit

Ei (-Xi -f- ht , Xi -f- Jli . . . Xn -f- hn) — Ei ÇXt , Xi , . . . Xn)

\IM -f- h\ + • • • + h\

^ [ ht | -j- 1 lu | -f- • • • 1 hn | m

\hl + AH - A*

(*) Nous supposons donc que la fonction Ei tend uniformément vers E. Le mot limite a été employé précédemment dans un sens différent, voir par. exemple § 23.

Le maximum du second membre est \ln M , c’est donc aussi le maximum du premier. L’inégalité précédente s’écrit donc

Ei (P) -£, ((?)

Wq) — I < V" M’

le symbole l ( P Q) représentant ce que l’on peut appeler la distance d e P h Q.

Ceci posé, considérons tous les points de A distants d’un point M de D de moins de >7, ils sont distants entre eux de moins de 2 >7, donc les a. correspondants diffèrent de moins de 2 >? \ n M. Donc tous les a. correspondant aux P{ tendant vers M ont une valeur limite e (M) qui est fonction continue de M. De plus on a aussi :

HPQ )

Désignons par 1, le maximum, quand M parcourt Z), de la limite inférieure de l(MPi ), l (M P2), . . . I (M P^, li tend vers zéro avec 4-. On a, j étant

choisi inférieur à i, de façon que l (M Pj) ne soit pas supérieure à I ei (M) ~ e (M) 1 ^ | ( M ) — ei (Pj) | -f- 1 (Pj) — e (Pj) | -f [ e (Pj) — e (M ) |

donc e est la limite de la suite e,} e2 . . .

Nous avons supposé que E est une fonction; si E est un ensemble d’un nombre fini de fonctions dont les nombres dérivés sont bornés, la conclusion subsiste.

Il reste à voir si l’élément limite e ainsi défini fait bien partie des éléments E considérés (*).