Deux ensembles égaux ont même mesure
3. ° La mesure de la somme d'un nombre fini ou d’une infinité dénombrable d’ensembles , sans points communs , deux à deux , est la somme des mesures de ces ensembles.
Nous ne résoudrons ce problème de la mesure que pour les ensembles que nous appellerons mesurables. Ce problème admet d’ailleurs des solutions différentes suivant que l’on se borne aux ensembles dont tous les points sont sur une droite, ou à ceux dont tous les points sont dans un plan, etc. Pour distinguer nous dirons, quand il sera nécessaire : mesure linéaire, mesure superficielle, etc.
Remarquons que si le problème de la mesure admet une solution, en multipliant toutes les mesures obtenues par un même nombre on a un autre système de mesures. Nous ne considérerons pas comme différentes de telles solutions, de sorte que, sans nuire à la généralité, nous pourrons attribuer la mesure 1 à un ensemble quelconque 'de mesure non nulle.
[. Les ELEMENTS DE l’eNSEMBLE SONT LES POINTS d’uNE DROITE.
2. Supposons possible le problème de la, mesure. Un ensemble formé d’un seul point a une mesure nulle car un ensemble borné contenant une infinité de points doit avoir une mesure finie. L’ensemble des points d’un segment MN a donc même mesure que M et N fassent ou non partie de l’ensemble; d’ailleurs MN ne peut avoir une mesure nulle sans qu’il en soit de même pour tout ensemble borné.
Choisissons un segment M N et attribuons lui 1 pour mesure. On sait que si l’on prend MN pour unité de longueur on peut attacher à chaque segment P Q un nombre, sa longueur; ce nombre est aussi la mesure de l’ensemble des points de P Q. Pour s’en convaincre il suffit de se rappeler que si
la longueur l de P Q est commensurable et égale à
— il existe un segment RS
contenu a fois dans P Q et /S fois dans M N et que si l est incommensurable, à tout nombre X inférieur à l correspond un segment contenu dans P Q . et de longueur X et à tout nombre X supérieur à l un segment contenant P Q et de longueur X.
Pour que la 3e condition du problème de la mesure soit remplie il faut que la longueur d’un segment somme d’un nombre fini ou d’une infinité d’autres segments, n’empiétant pas les uns sur les autres, soit la somme des longueurs de ces segments.
IXes propriétés des longueurs il résulte qu’il en est bien ainsi si les segments composants sont en nombre fini; cela est encore vrai s’ils sont en nombre infini. ( Voir les Leçons sur la Théorie des fonctions , de M.r Borel.)
3. Un ensemble E étant donné, on peut d’une infinité de manières enfermer ses points dans un nombre fini ou une infinité dénombrable d’intervalles. L’ensemble E , des points de ces intervalles contient E donc la mesures m (E) de E est au plus égale à celle m (El) de E{ , c’est à dire au plus égale à la somme des longueurs des intervalles considérés. La limite inférieure de cette somme est une limite supérieure de m ( E ), nous l’appellerons la mesure extérieure de L1, ms(E ).
Supposons que tous les points de E appartiennent à un segment A B. Nous appellerons complémentaire de E par rapport à A B, CAB (E), l’ensemble AB — E. Puisque la mesure de CAB(E ) est au plus me[CAB(E)] celle
Lebesgue:
de E est au moins m (A B) — me [ CAB (E )]. Ce nombre ne dépend pas de celui des segments A B contenant E choisi ; nous l’appellerons la mesure intérieure de E , miiE). Deux ensembles égaux ont des mesures intérieures égales et des mesures extérieures égales. D’ailleurs puisque l’on a:
me(E) + me [CAB (E)] ^ ni (/I B)
la mesure extérieure n’est jamais inférieure à la mesure intérieure. Si le problème de la mesure est possible, la mesure d’un ensemble E est comprise entre les deux nombres me(E ), nii(E) que nous venons de définir.
4. Nous appellerons ensembles mesurables (*) ceux dont les mesures extérieure et intérieure sont égales , la valeur commune de ces deux nombres sera la mesure de l’ensemble, si le problème de la mesure est possible. Des propriétés qui suivent il résultera que le nombre m (E) ainsi défini satisfait bien aux conditions du problème de la mesure si l’on s'astreint à ne considérer que des ensembles mesurables.
La définition des ensembles mesurables est équivalente à celle ci : Un ensemble E est dit mesurable s’il est possible d’enserrer ses points dans des intervalles a, et ceux de son complémentaire dans des intervalles /3 de manière que la somme des longueurs des parties communes aux a et aux /3 soit aussi petite que l’on veut.
Soit un nombre fini ou une infinité dénombrable d’ensembles mesurables j E, , E, ,... montrons que l’ensemble somme E est mesurable.
Nous supposons tous les ensembles Ei formés des points d’un segment A B par rapport auquel nous prendrons les complémentaires. Enserrons les. points de Ei dans des intervalles a, n’empiétant pas les uns sur les autres et G (E,) dans des intervalles /S,; les parties communes aux a, et aux 6, étant de longueur totale choisie arbitrairement £, . Enserrons E2 dans des intervalles a8 et C.[E2 ) dans /32 ayant en commun une longueur totale s2. Soient a2 et /3'2 les parties des «2 et /3, communes aux /3,. A E3 correspondent des intervalles «3, (3 3 et un nombre s3, soient a'3 et /3'3 les parties des «3 et /33 communes aux /S', et ainsi de suite.
Les points de E peuvent être enfermés dans les intervalles a,, a'*, a'3,... Ceux de C( E) peuvent être enserrés dans les intervalles (3 '*•, quel que soit i. Or ces deux séries d’intervalles ont des parties communes de longueur totale
O Eu adoptant cotte définition nous modifions le langage qu’adopte M.r Borel.
au plus égale à
li === ei "j- £2 “1“ £i -f m (a fn) + m (« i+î) -1 -
La série 2 m (a't) est convergente, si donc on a choisi les &i de façon que la série 2 e; soit convergente et ait e pour somme, on pourra prendre i assez grand pour que U soit inférieur à 2 e.
Donc E est sommable. — La somme d’un nombre fini ou d’une infinité dénombrable d’ensembles sommables étant un ensemble sommable, cela a bien un sens de poser le problème de la mesure seulement pour les ensembles mesurables.
Si les E, , L’a,... n’ont deux à deux aucun point commun, les points de Ei sont intérieurs aux intervalles «',• de sorte que ) — m(Ei) est au plus égal à e,-. Or ni (E ) diffère de
de moins de donc on a :
et la 3.èra0 condition du problème de la mesure est remplie.
5. Le problème de la mesure est donc possible pour les ensembles mesurables; et il n’admet qu’une seule solution, car les raisonnements qui nous ont servi à définir les deux nombres me et m,-, appliqués à un ensemble mesurable, ne font intervenir que des ensembles mesurables.
Il 11’est nullement démontré que le problème de la mesure soit impossible pour les ensembles (s’il en existe) dont les mesures intérieure et extérieure sont inégales. Mais dans la suite nous ne rencontrerons que des ensembles mesurables. En effet les procédés que nous emploierons pour définir un ensemble pourront toujours se ramener aux deux suivants.
1. ° Faire la somme d'un nombre fini ou d’une infinité dénombrable d’ensembles précédemment définis.
2. ° Considérer l’ensemble des points communs à un nombre fini ou une infinité dénombrable d’ensembles donnés;
et ces deux procédés appliqués à des ensembles mesurables donnent des ensembles mesurables. Nous l’avons vu pour le premier, démontrons le pour le second.
Lebesgue:
Soient En E,... les ensembles donnés; l’ensemble cherché c, peut être défini comme ayant pour complémentaire la somme des complémentaires de E,, E2 . . . , ce qui démontre la proposition.
Soit a l’ensemble analogue à e{, relatif à la suite Ei, Ei+l . . l’ensemble somme des c; est formé des points communs à tous les Ei , au moins à partir d’une certaine valeur de i, variable d’ailleurs d’un point à l’autre ; comme somme d’ensembles mesurables il est mesurable.
Yoici une autre application du 2ème procédé. Soit E, contenant E2 , Et — E2 est l’ensemble des points communs à E{ et C { E2 ), donc si Et et Ei sont mesurables, E, — E, l’est. D’ailleurs, puisque l’on a:
E, = (Et — E2) + E, m ( Et — E2) = m ( E ,) — m (E,)
6. Puisque nous connaissons un ensemble mesurable, celui formé de tous les points d’un intervalle, les deux procédés précédents appliqués un nombre fini de fois nous permettent d’en définir de nouveaux. Ceux que l’on peut obtenir par cette méthode et leurs complémentaires sont ceux que M.r Borel appelle mesurables (*) et que nous nommerons ensembles mesurables (B). Ils sont définis par une infinité dénombrable de conditions, leur ensemble a la puissance du continu. Parmi ces ensembles il faut citer ceux qui sont des sommes d’intervalles et les ensembles fermés, c’est-à-dire contenant leur dérivé (**), dont les complémentaires sont sommes d’intervalles.
L’ensemble E formé des points d’abcisses :
Ctl . (1 2 , (Ï3 .
où les üi sont égaux à 0 ou 2, étant parfait est mesurable (B). Son corn
plémentaire est formé d’un intervalle tervalles
de longueur -- ? de deux in-
— — p - - ) de longueur — » de quatre interva]-
les de longueur , etc, donc a pour mesure
(*) Leçons sur la théorie des fonctions } pages 46 à 50.
(**) Oe sont ces ensembles que M.r Jordan appelle parfaits et M.r Borel relativement parfaits. Un tel ensemble contient sa frontière (laquelle sera définie plus loin).
et par suite E est de mesure nulle. E a la puissance du continu, donc on peut former avec les points de E une infinité d’ensembles qui tous, ayant une mesure extérieure nulle, sont mesurables. La puissance de l’ensemble de ces ensembles est celle de l’ensemble des ensembles de points; il existe donc des ensembles mesurables qui ne sont pas mesurables (B), et la puissance de l'ensemble des ensembles mesurables est celle de l’ensemble des ensembles de points.
7. Soit E un ensemble mesurable. Choisissons des nombres e, e2 . . . décroissant jusqu’à zéro. On peut enfermer E dans une infinité dénombrable d’intervalles «,• de mesure m(E)-{-ei. L’ensemble E , des points qui font partie à la fois des ensembles a, a2 . . . est mesurable (5), il a pour mesure m(E) et contient E. L’ensemble Et — E est de mesure nulle. On peut l’enfermer dans des intervalles /3t-, contenus dans les a,- et de mesure e,- . L’ensemble e des points communs h tous les (3,- est mesurable (B) et de mesure nulle. L’ensemble E.2 = Et — e est donc mesurable [B) et de mesure m(E)\ de sorte que tout ensemble mesurable est contenu dans un ensemble E , et contient un ensemble Et\ Et et E2 étant mesurables ( B ) et de même mesure. Les ensembles que nous appelons mesurables sont donc ceux que les procédés de M.r Boree permettent de mesurer, à condition de tenir compte des remarques énoncées à la fin de la page 48 (*j (loc. cit.).
D’une manière analogue on démontre que la mesure extérieure d’un ensemble E est la limite inférieure des mesures des ensembles mesurables contenant E et qu’il existe effectivement un ensemble mesurable (B) contenant E et de mesure me(E). De même, nii(E) est la limite supérieure des mesures des ensembles mesurables contenus dans E et il existe effectivement un ensemble mesurable (B) contenu dans E ayant tm(E ) pour mesure.
8. Dans son traité d’Analyse M.r Jordan donne les définitions suivantes. Un point M est point intérieur d’un ensemble E s’il est intérieur à un segment dont tous les points sont points de E. La frontière de E est l’ensemble des points qui ne sont intérieurs ni à E, ni à C{E).
Divisons le segment A B qui porte E: en intervalles partiels. Soit / la somme des longueurs de ceux de ces intervalles dont tous les points sont in-
(*) « Cependant, si un ensemble E contient tous les éléments d’un ensemble mesurable Eu de mesure nous pourrons dire que la mesure de E est supérieure à a, sans nous inquiéter si E est mesurable ou non. Inversement, . . . Les mots supérieure et inférieure n'excluent d’ailleurs pas l’égalité ».
Lebesgue:
térieurs à E et L la somme des longueurs de ceux qui contiennent des points de E ou de sa frontière. On démontre que, lorsque l’on fait varier d’une manière quelconque la division de A B: de façon que le maximum de la longueur des intervalles partiels tende vers zéro, les deux’ nombres l et L tendent vers des limites déterminées les étendues intérieure et extérieure de E. De cette définition il résulte que l’étendue extérieure est au moins égale à la mesure extérieure et que l’étendue intérieure est au plus égale à la mesure intérieure. M.r Jordan appelle mesurables les ensembles dont les deux étendues extérieure et intérieure sont égales ; ces ensembles que nous nommerons mesurables (J) sont donc mesurables au sens que nous avons adopté et les deux définitions de la mesure concordent lorqu’elles sont toutes deux applicables.
On peut encore dire que l’étendue intérieure de E est la mesure de l’ensemble de ses points intérieurs, lequel ensemble étant ouvert (*), c’est-àdire ne contenant aucun point de sa frontière, a pour complémentaire un ensemble fermé et par suite est mesurable (B). L’étendue extérieure de E est la mesure de l’ensemble somme de E et de sa frontière, lequel étant fermé est mesurable (B). Donc pour qu’un ensemble soit mesurable (J) il faut et il suffit que sa frontière soit de mesure nulle.
Un ensemble fermé, ayant pour étendue extérieure sa mesure, s’il est de mesure nulle on peut affirmer qu’il est mesurable (J). En particulier l’ensemble parfait défini au § 6 est mesurable (J), il en est de même de tous ceux que l’on peut former avec ses points, donc l’ensemble des ensembles mesurables (J) a même puissance que l’ensemble des ensembles de points, et il existe des ensembles mesurables (J) qui ne sont pas mesurables {B).
9. Nous venons d’attacher à certains ensembles une mesure, il nous reste à rechercher comment on peut calculer ce nombre. Cela dépend évidemment de la manière dont l’ensemble est donné.
Supposons qu’un intervalle quelconque (a, b) étant donné, on sache reconnaître s’il existe dans (a, b) des points de l’ensemble donné E ou de sa frontière, et s’il y existe des points de C (. E ). Nous pourrons alors, par un nombre fini d’opérations, calculer un nombre, quelconque de termes des deux suites (que l’on peut supposer l’une décroissante, l’autre croissante) dont les limites sont les étendues extérieure et intérieure de E. L’habitude que nous avons de manier les séries conduit à considérer les étendues comme bien définies.
(*) Tous les points d’un tel ensemble sont intérieurs à l’ensemble.
On sait donc calculer la mesure d’un ensemble mesurable (J) et la considération simultanée des deux suites permet d’avoir une limite supérieure de l’erreur commise en s’arrêtant à un terme quelconque.
Il est beaucoup plus difficile de calculer me(E ) et ni;(E ) pour un ensemble quelconque. Ces nombres sont en effet définis par la considération d’une infinité non dénombrable de nombres; pour trouver une suite de nombres tendant vers me(E ) il faudrait considérer des divisions du segment AB portant E , en intervalles partiels qui dépendraient do l’ensemble E.
Si un ensemble est mesurable ( B ) et est défini à l’aide des deux opération^ que nous avons indiquées à partir de suites d’intervalles, il est facile de calculer sa mesure en s’appuyant sur la 3èn,e condition du problème de la mesure et sur cette propriété : l’ensemble E des points communs à tous les ensembles mesurables Et Et ... qui sont tels que chacun contient tous ceux qui le suivent, est la limite inférieure de la suite tn(E, ), ni (Et)...
En effet C (E) est la somme des ensembles, sans point commun, deux à deux, C(Et), [C (Et) - C(Et)\} [ C(E3 ) - C (Et)] . . .
Donc
et
ni ( E ) == m (Et) + [w (Et) — m (7?,)] -{-•••
