II. Les ELEMENTS DE L’ENSEMBLE SONT LES POINTS d’üN PLAN

10. Les considérations précédentes s’étendent sans peine aux ensembles dont les éléments sont les points d’un espace à plusieurs dimensions; nous nous bornerons au cas du plan.

En raisonnant comme au § 2 on voit que tout ensemble borné de points sur une droite a une mesure superficielle nulle et que l’ensemble des points d’un carré ne peut avoir 0 pour mesure. Attribuons donc arbitrairement 1 pour mesure à un carré M N P Q.

Les raisonnements que l’on emploie en géométrie élémentaire pour trouver l’aire d’un triangle, prouvent que la mesure de l’ensemble des points d’un triangle ne peut différer de la moitié du produit des nombres qui mesurent son côté et sa hauteur, M N étant l’unité de longueur.

Lebesgue:

La mesure d’un triangle étant ainsi définie, il faut démontrer que la mesure d’un triangle , somme de triangles n' empiétant pas les uns sur les autres, est la somme des mesures de ces triangles..

Les raisonnements exposés par M.r Hadamard dans la note D de sa Géométrie élémentaire prouvent qu’il en est bien ainsi si les triangles composants sont en nombre fini. Le cas où ils sont en nombre infini se traite par un raisonnement semblable à celui qui nous a été utile dans le cas des ensembles de points sur une droite (Borel, Théorie des fonctions , page 42).

11. Nous pouvons maintenant donner les définitions analogues à celles du § 3.

La mesure extérieure me(E) d’un ensemble E est la limite inférieure de la somme des mesures des triangles (en nombre fini ou infini) dans lesquels on peut enfermer les points de E.

E étant intérieur à un triangle ABC , par définition

Cabc(E) = (ABC)-E.

La mesure intérieure de E sera, par définition

m, {E) = m (ABC) — me [ CABC (E)].

Un ensemble pour lequel les deux nombres ainsi définis sont égaux sera dit mesurable, et la valeur commune de ces nombres sera sa mesure.

On démontre comme au § 4 que le problème de la mesure est possible et n’admet qu’une solution quand on se borne aux ensembles mesurables; et que les deux procédés du § 5 appliqués à des ensembles mesurables donnent des ensembles mesurables. Ces deux procédés, appliqués un nombre fini de fois à des ensembles dont chacun est formé des points d’un triangle, donnent les ensembles plans que nous appellerons, ainsi que leurs complémentaires, ensembles mesurables (B).

Soit un ensemble ouvert E , chacun de ses points M est intérieur à E. Nous pouvons donc à il/ faire correspondre un carré ayant M pour centre, de côtés parallèles à des directions rectangulaires données, et défini comme étant le plus grand dont tous les points intérieurs sont intérieurs à E. E étant somme de ceux de ces carrés qui correspondent aux points dont les deux coordonnées sont rationnelles, est mesurable (B).

Le complémentaire d’un ensemble fermé est un ensemble ouvert, donc tout ensemble fermé est mesurable (B).

On définira les étendues extérieure et intérieure d’un ensemble comme dans le c.as de la droite, une division de la portion de droite contenant l’ensemble en un nombre fini de segments étant remplacée par une division en un nombre fini de carrés de la portion de plan contenant l’ensemble. De là la notion d’ensemble mesurable (J).

Tous ces ensembles et tous ces nombres ont entre eux les mêmes rapports que les ensembles et les nombres de mêmes noms rencontrés précédemment.