III. Le PROBLEME DES AIRES

12. On sait que l’on appelle courbe plane l’ensemble des deux équations

f et <p étant continues dans l’intervalle (a, b) fini où elles sont définies. A chaque valeur de t on peut faire correspondre le point dont les coordonnées sont les valeurs correspondantes de x et y. Une courbe définit donc un ensemble de points, cet ensemble est parfait (**j. Un point est dit multiple s’il correspond à plusieurs valeurs de t. Dans le cas d’une courbe sans point multiple la connaissance de l’ensemble des points de la courbe suffit à la définir, car on ne considère pas comme différentes la courbe (1) et celles qu’on en déduit en remplaçant t par une fonction 6 ( t ) toujours croissante ou toujours décroissante.

Une courbe est dite fermée sans point multiple si elle n’a d’autre point multiple qu’un point double correspondant à t = a et t=b. On considère cette courbe comme définie par l’ensemble de ses points. Une telle courbe étant donnée, on sait qu’elle divise le plan en deux régions l’une intérieure, l’autre extérieure (***).

Nous appellerons domaine l’ensemble des points à l’intérieur d’une courbe fermée C sans point multiple. C est la frontière du domaine, lequel est un

(*) Jordan, Tomé I. — J. Hadamard, Géométrie Elémentaire.

(**) Il n’en serait pas ainsi si, comme cela se présente souvent en mécanique, l’intervalle ( a , b) était infini.

(***) Jordan, Cours d* Analyse, 2ème Edition, Tome I, pages 90 à 100.

Lebesgue i

ensemble ouvert. Nous dirons qu’un domaine D est somme des domaines 7),, Du,... en nombre fini ou non, si tout point de Z) appartient à un et un seul des D , , ou bien à l’une au moins des frontières des D; .

13. Nous nous proposons d’attacher a chaque domaine un nombre positif que nous appellerons son aire et satisfaisant aux conditions suivantes :