Deux domaines égaux ont même aire

2. ° L’aire d’un domaine somme d'un nombre fini ou infini d’autres domaines est la somme des aires de ces domaines.

C’est le problème des aires.

Si ce problème est possible, il l’est d’une infinité de manières et l’on peut attribuer arbitrairement 1 pour aire à un carré M N P Q. Les raisonnements connus de la géométrie élémentaire prouvent que l’aire d’un rectangle ne peut différer du produit des longueurs de ses côtés, MN étant l’unité de longueur, c’est-à-dire de la mesure superficielle du rectangle.

Un domaine étant un ensemble ouvert est, comme nous l’avons vu, somme d’une infinité dénombrable de rectangles, dont on peut supposer qu’ils n’empiètent pas les uns sur les autres; donc son aire ne peut différer de la somme des aires de ces rectangles, c’est-à-dire de la mesure superficielle du domaine considéré comme ensemble de points.

Soient maintenant deux domaines Z), et D2 sans point commun, ayant en commun un arc de frontière a /?, et un seul. Le domaine D — somme de l’ensemble des points de 7),, de l’ensemble des points de Z)2, de l’ensemble des points de a(3 (autres que a. et /3), — a pour mesure la somme des mesures de ces trois ensembles, qui sont tous trois mesurables puisque les deux premiers sont ouverts et que le troisième est parfait, aux points a et /3 près. Pour que la 2ème condition du problème des aires soit remplie il faut donc que la mesure superficielle de l’arc a /3 soit nulle.

Le problème des aires n’est donc possible que si Von ne considère que les domaines dont la frontière est de mesure superfcielle nulle.

Nous appellerons ces domaines domaines quarrables et les courbes dont la mesure superficielle est nulle courbes quarrables.

Soit un domaine quarrable 7), somme des domaines quarrables Zb, Z)2,... L’ensemble des points de D contient la somme des ensembles sans point commun deux à deux 7), D2 . . . et comme aucun des D, n’a une mesure nulle ils forment au plus une infinité dénombrable. Les frontières ont une mesure superficielle nulle, on peut les négliger dans le calcul de la mesure ou aire de D.

Le problème des aires est donc possible pour les domaines quarrables et il n’admet qu’une seule solution ; si l’on fixe l’unité d'aire.

14. Nous allons supposer maintenant que la 2ème condition du problème des aires est ainsi modifiée :

L'aire d'un domaine somme de deux autres est la somme des aires de ces deux autres (*).

En reprenant des raisonnements déjà employés on verra que l’aire d’un domaine 7) est comprise entre les étendues intérieure et extérieure de ce domaine. De sorte que l’aire d’un domaine quarrable est encore bien déterminée.

L’aire d’un domaine D non quarrable, limité par une courbe non quarrable C est comprise entre les nombres m (D) et m {D) -f m (C) (**).

Montrons que le problème des aires ainsi posé est indéterminé pour les domaines non quarrables. Nous nous appuierons sur cette propriété : lorsque deux domaines 7),, D, ont en commun un arc de frontière a /3, on peut trouver un domaine D contenant a ô (sans peut-être « et /3) et tel que, ou bien tout point de D intérieur à D, est intérieur à Z)2 et inversement, ou bien tout point de D intérieur à Z), n’appartient pas à Dt et inversement (***). Dans le premier cas nous dirons que Z), et Z)2 sont du même côté de a /3 et dans le second qu’ils sont de côtés différents.

Soit un arc de courbe a /3, sans point multiple et non quarrable, supposons qu’il fasse partie de la frontière d’un domaine A. Soit maintenant un domaine quelconque Z) limité par une courbe C. Ce t a /3 peuvent avoir des arcs en commun (nous négligeons les points communs, s’il en existe, ne faisant pas partie de tels arcs). Soit E l’ensemble de ceux de ces arcs le long desquels D et A sont d’un même côté de a. jô et E, l’ensemble des arcs pour lesquels cela n’est pas. Choisissons arbitrairement, une fois pour toutes, un

(*) C’est ainsi que M.' Ha.dama.rd pose le problème des aires pour les polygones. ( Géométrie Elémentaire, Note D.)

(**) Il existe des courbes non quarrables puisqu’il existe des courbes passant par tous les points d’un carré. Pour former une courbe non quarrable, sans point multiple il suffit de modifier légèrement la méthode qu’emploie M.r Hilbert pour définir une courbe passant par tous les points d’un carré ( Mathematische Annalen, Bd. 38 ou Picard, Traité d’ Analyse, 2.° Edition, Tome I). On remplacera chacun des carrés qui figure dans la définition de M.r Hilbert par un polygone intérieur à ce carré, d’aire assez grande, choisi de façon que les frontières de deux de ces polygones n’aient en commun que le sommet, s’il existe, par lequel la courbe passe de l’un dans l’autre.

(***) La démonstration n’offre aucune difficulté.

Lebesgue :

nombre 9 compris entre 0 et 1. Nous attribuerons à D l’aire:

On démontrera très facilement que Faire ainsi définie vérifie la seconde condition du problème des aires, telle qu’elle a été posée au début de ce paragraphe (*).

En résumé le problème des aires n’est à la fois possible et bien déterminé que pour les domaines quarrables. Dans la suite nous ne parlerons d’aire que dans le cas d’un domaine quarrable.

Des raisonnements analogues aux précédents pourront être faits au sujet des volumes des domaines de l’espace ordinaire, et d’une façon plus générale de Y étendue d’un domaine d’un espace à un nombre quelconque de dimensions.