I. Intégrale definie des fonctions d’une variable

15. Au point de vue géométrique le problème de l’intégration peut se poser ainsi :

Étant donnée une courbe C 'par son équation y = f(x) (f est une fonction continue positive , les axes sont rectangulaires) trouver faire du domaine limité par un arc de C, un segment de 0 x et deux parallèles à l’axe des g d’abcisses données a et b, (a<ib).

Cette aire s’appelle l’intégrale définie de f prise entre les limites a et b, rh

elle se représente par f(x)d x.

Archimède en quarrant un segment de parabole a résolu un cas particulier de ce problème. La méthode classique applicable au cas général con-

(*) Il faudra pour cela s’appuyer sur cette propriété: Si un domaine est somme de deux domaines 2), et I)2, Dl et D2 ont en commun un arc de frontière et un seul, et aucun point commun en dehors de cet arc.

siste essentiellement à évaluer les étendues intérieure et extérieure du domaine à l’aide d’une division du plan en rectangles dont les côtés sont parallèles à 0 x et 0 g. Pour avoir ces rectangles traçons d’abord des parallèles h 0 g, puis divisons les bandes obtenues par des segments parallèles à Of, d’ordonnées variables d’une bande à l’autre. Si l’un B, des rectangles B ainsi formés doit être considéré pour calculer l’une des étendues, tous les rectangles B situés dans la même bande et compris entre B, et Ox doivent aussi être considérés pour le calcul de la même étendue. Les étendues sont donc des limites de sommes d’aires de rectangles ayant leurs bases sur 0 x.

Soient <J, , â2... les longueurs de ces bases; »<,, m2..., 3/,, 3/2... les valeurs inférieures et supérieures de f dans les intervalles correspondants. Si l’on suppose les à donnés, c’est-à-dire les parallèles à 0 y tracées, et si l’on choisit les segments parallèles à 0 æ de manière à obtenir les valeurs les plus approchées possibles pour les étendues, on obtiendra pour ces valeurs approchées :

s = 2 $i nu S = 2 âi Mi .

Ainsi on sait calculer les deux étendues du domaine; on démontre qu’elles sont égales, le problème que nous nous sommes posé a donc un sens et nous savons le résoudre.

Relativement aux fonctions f bornées quelconques M.r Darboux a démontré (*) que les deux sommes s et S tendent vers des limites parfaitement déterminées; on les appelle intégrales 'par défaut et par excès. Lorsque ces deux intégrales sont égales, et cela se présente pour d’autres fonctions que les fonctions continues, la fonction est dite intégrable et la limite commune de s et S est appelée depuis Riemann (**) V intégrale definie de f prise entre a et b.

16. Pour interpréter géométriquement ces nombres, attachons à toute fonction f positive définie dans (a, b) l’ensemble E des points dont les coordonnées vérifient à la fois les deux inégalités

(*) Darboux, Mémoire sur les fondions discontinues. Annales de l’Ecole Normale,

(**) Riemann, Sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonomètrique.

Leb es g ue:

Les deux sommes s et S sont évidemment des valeurs approchées des étendues intérieure et extérieure de E et par suite s et S ont des limites bien déterminées: ces étendues. Ainsi, au point de vue géométrique, l’existence des intégrales par défaut et par excès est une conséquence de l’existence des étendues intérieure et extérieure d’un ensemble borné. — Pour que la fonction f soit intégrable il faut et il suffit que E soit mesurable (J); la mesure de E est l’intégrale.

Si la fonction f est de signe quelconque, nous lui faisons correspondre l’ensemble E des points dont les coordonnées vérifient les trois inégalités

a ^ x ^ b xf(: r) 0 0 ^ y'1 ^ f(x).

L’ensemble E est somme de deux ensembles E, et E2 formés des points à ordonnées positives pour Et et négatives pour Et (*). L’ intégrale par défaut est l’étendue intérieure de E{ moins l’étendue extérieure de Et\ l’intégrale par excès est l’étendue extérieure de E, moins l’étendue intérieure de E2 . Si E est mesurable (J) (auquel cas et E2 le sont) la fonction est intégrable, l’intégrale étant m(Ei) — m (E2).

17. Ces résultats suggèrent immédiatement la généralisation suivante: si l’ensemble E est mesurable, (auquel cas Et et E2 le sont) nous appellerons intégrale définie de f \ prise entre a et b , la quantité

m (E) — m (Et).

Les fonctions f correspondantes seront dites sommables.

Relativement aux fonctions non sommables, s’il en existe, nous définirons les intégrales inférieure et supérieure comme égales à

m (Ei) — me (Et) me (E) — nu (E, ).

Ces deux nombres sont compris entre les intégrales par défaut et par

excès.

18. Nous allons définir analytiquement les fonctions sommables.

Puisque E est mesurable il est contenu dans un ensemble E' et contient

un ensemble E , E' et E" étant mesurables (B) et de mesure m ( E ), § 7. D’ailleurs les raisonnements qui nous ont donné ce résultat prouvent que l’on peut supposer E' et E" formés de segments parallèles à 0 y et ayant leurs pieds sur 0 x , c’est-à-dire correspondant à deux fonctions /, et f2 (fi == ft).

(*) Il importe peu de considérer les points de l’axe des x comme faisant partie de E, ou de E2.

Soient e , é , e" les ensembles formés de ceux des points de E, E , E dont les ordonnées sont plus grandes qu’un nombre donné w<>0; e , e ', e" sont mesurables et de même mesure. Soient s , s ', s' les sections de ces ensembles par la droite y = m -f- h ; s' et s" sont mesurables (B) linéairement, et m (s'), m (s") ne décroissent pas quand h tend vers zéro; soient S S" leurs limites. Montrons qu’elles sont égales. — En effet, s’il en était autrement pour h assez petit on aurait toujours

Et l’on peut trouver /*, et h, , ht < h2 , assez petits pour que m [s (/<,)] ^ m [s' (//,)] ^ m [s ' (/i,)] -f ~ •

Soient e\ , e'\ les points de e et e' compris entre y — h , et y = h2 on a :

m (e\) (ht — /q) . ni [s' (ht) J m («",) ^ (ht — h,) . m [s'' (ht)].

Donc

m (e',)s= tn (é\) + (h2 — ht) ~

ce qui est impossible car é , et é\ doivent avoir la même mesure.

Donc s et s" ont même mesure linéaire et par suite s est mesurable ; c’est-à-dire que V ensemble des valeurs de x pour lesquelles f (x) est supérieure à ni > 0 est mesurable. De même l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) est inférieure à ni <C 0 est mesurable.

De là résulte que l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) est inférieure ou égale à œ>0 (supérieure ou égale à m < 0) est mesurable ; donc que l’ensemble des points pour lesquels on a soit a ^ f (x) >> b > 0, soit 0 >» c > f(x) ^ d, soit e f(x) ^ g (e g 0) est mesurable; et en faisant tendre b vers a, ou d vers r, ou e et g vers 0 oïq voit que l’ensemble des points pour lesquels y a une valeur donnée est mesurable. En résumé, sans qu’il soit nécessaire de s’occuper des signes de a et b , si f est sommable, l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles on a :

est mesurable.

Lebesgue:

19. Réciproquement : si quels que soient a et b l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles on a a^> f (x)^> b est mesurable , et si la fonction f(x) est bornée , elle est sommable.

En effet, divisons l'intervalle de variation de f(x)\ soient u0, an

les points de division. Soit ei(i = 0, 1,... n) l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles f[x) = üi.

Soit e'i[i = 0, 1, 2 , ...« — 1) l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles ai < f(x) < ai+i.

Les points de l’ensemble E attaché à f (x), correspondant aux valeurs de x qui appartiennent à et- forment un ensemble mesurable dans le plan et de mesure | a,- , . mi (e,-), ( mi (ef) désignant une mesure linéaire).

Les points de E qui correspondent à ceux de e i forment un ensemble contenant un ensemble mesurable de mesure a* I . mi (e'i), et contenu dans un ensemble mesurable de mesure ! at-+1 1 mi (e'i).

E contient donc un ensemble de mesure

2 I «* I m (e.) + 21 1 «t-i ! mi (e'i)

et est contenu dans un ensemble de mesure

Ces deux mesures diffèrent de moins de (an — a „) a en appelant a. le maximum de «,• — donc on peut les rendre aussi voisines que l’on veut et E est mesurable, donc f sommable.

De plus on sait calculer la mesure de E ; donc, si f est positive l’intégrale est la limite commune des deux sommes

a = 2 a i vni (ef) -f- «» -> • m (e'i) , 2 = V üi nil (ei) j 2J a,- nn (e'i)

lorsque at-, — ai tend vers zéro.

Or si f n’est pas toujours positive la limite de la somme de ceux des termes de o ou 2 qui sont positifs donne la mesure de l’ensemble que nous avons appelé E{ § 16, et la limite de la somme des termes négatifs donne — m (E-f), donc dans tous les cas o et 2 définissent l’intégrale.

20. Il n’est peut-être pas inutile de montrer que des raisonnements analytiques auraient pu nous conduire à la considération des fonctions sommables et de ce que nous venons d’appeler leurs intégrales,

Soit une fonction continue toujours croissante f(x) définie entre « et fi («</ 3) et variant entre « et (a<Cl>). Prenons arbitrairement pour x les valeurs

auxquelles correspondent pour /’(.r) les valeurs

L’intégrale définie, au sens ordinaire du mot, est la limite commune des deux sommes